第02讲 二次函数中特殊三角形存在性问题（含2021年上海中考24题动图演示）-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（上海专用）

第02讲 二次函数中特殊三角形存在性问题 【考点梳理】 一、等腰三角形 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB = BC；（2）BC = CA；（3）CA = AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 1、知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边 （3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为： ． 2、解题思路： （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之． 二、直角三角形 在考虑是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①；②；③．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理、相似/全等等知识才能求得． 以函数为背景的直角三角形存在性问题 1、知识内容： 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理的计算来确定直角三角形． 2、解题思路： （1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2）计算出相应的边长等信息； （3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 【典型例题】 题型一：二次函数中等腰直角三角形的存在性 1．（2021•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC． ①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C在抛物线上，求C的坐标． 2．（2022•徐汇区模拟）如图所示，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）当a＝﹣时， ①求点A、B、C的坐标； ②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标； （2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a的值． 3．（2021•浦东新区校级二模）已知直线交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），点P为抛物线上一个动点，设P的横坐标为m（m＞0），过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，联结PB． （1）求抛物线的解析式； （2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长； （3）将△BDP绕点B旋转得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P对应点P′落在y轴上时，求点P的坐标． 4．（2022•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB＝S△CDB，求点P的坐标； （3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标． 5．（2022春•浦东新区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过P（3，0）和Q（1，4）． （1）求这条抛物线的表达式； （2）已知点A在第一象限，且在直线PQ上，过A作AB上x轴的垂线，垂足为点B，在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC， ①当点A与点Q重合时，如图所示，求点C到这条抛物线对称轴的距离； ②如果点C在这条抛物线上，求点C的坐标． 题型二：二次函数中直角三角形的存在性 1．（2022•徐汇区模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式； （2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围． 2.（2019嘉定二模）在平面直角坐标系