空间向量专题：空间向量在立体几何最值问题的应用-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

空间向量专题：空间向量在立体几何最值问题的应用 一、立体几何中的最值范围问题解题思路 此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考： 一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解； 二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 二、解决立体几何中的最值问题常用方法 1、建立函数法：很多情况下，我们都是把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次函数的配方法、公式法；有界函数界值法（如三角函数等）。 2、公理与定义法：通常以公理与定义作为依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短；分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的共垂线短等。如果利用函数关系求之比较困难，而运用两异面直线共垂线段最短则是解决问题的捷径。 3、解不等式法：在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解。 如：、、最小角定理所建立的不等关系等。 4、展开图法：它可将几何体表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分只管，由难化易。 5、变量分析法：透过现象看本质，在几何体重的点、线、面，哪些在动，哪些不懂，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法。 题型一 空间角的最值范围问题 【例1】在正方体中，动点M在线段上，E，F分别为，AD的中点．若异面直线EF与BM所成角为，则的值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】以D点为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系．设DA＝2，， 故，，． 设， 则， 则 ． 当时，取到最大值，此时， 当时，取到最小值，此时， 所以的取值范围为，故选:ABC． 【变式1-1】如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，2，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为_________. 【答案】 【解析】以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系，， 则， ， 设平面的法向量为 则，令，则， 所以平面的一个法向量 因为 所以点P到平面BFE的距离 因为， 所以在等腰中，到的高为， 所以 因为， 所以 所以或(舍去)， 设直线与所成的角为，则， 所以 ， 所以的最大值为，此时最小，此时最小， 因为，且，所以， 所以，即直线CP与所成角的正切值的最小值为， 故答案为： 【变式1-2】如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，. （1）证明：； （2）若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】（1）证明：取中点，连接， 因为，所以，且， 所以平面， 又平面，所以. （2）连接，则，由，可得， 于是，所以， 又，所以平面， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 由，可得， 平面的法向量为， 设， 则， 设与平面所成角为， 则， 令，则， 令，由对称轴知， 当，即时，，，于是 直线与平面所成角的正切的最大值为2. 【变式1-3】如图，在长方体中，，.若平面与棱，分别交于，，且，，分别为棱，上的点，且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成的夹角的余弦值的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）因为为长方体，所以平面， 又平面，， ，， 又， ，即， 所以，即， 又，，平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以点为坐标原点，射线，，分别为轴，轴，轴， ，平面，且平面平面， ，，四边形为平行四边形，， ，，， 所以，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，且， 又由（1）得平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 设，则， 即， 所以当，即，时，取得最小值为. 题型二 空间距离的最值范围问题 【例2】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DC＝2，DA＝DD1＝1，点M、N分别为A1D和CD1上的动点，若MN∥平面AA1C1C，则MN的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图建系，由题意可设，， ， 又 ，， 平面的法向量， 又 面， 即， ， 最小值为.故选：A. 【变式2-1】在长方体中， ，点在棱上，且，点