第07讲 探索勾股定理、直角三角形全等的判定（3大考点）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（浙教版）

第07讲 探索勾股定理、直角三角形全等的判定（3大考点） ( 考点 考向 ) 1.勾股定理 （1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有这就是勾股定理． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）由于，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2.勾股定理逆定理 “若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状，为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法. 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理. 3.勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 勾股数： 4.勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数． 说明： 1 个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． 2 组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． 3 住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 5.勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 6、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 7、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件. ( 考点 精讲 ) 一．直角三角形全等的判定（共5小题） 1．（2021秋•诸暨市期中）如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定 Rt△ABE≌Rt△DCF的是　①②③　（填入序号） ①AB＝DC，∠B＝∠C； ②AB＝DC，AB∥CD； ③AB＝DC，BE＝CF； ④AB＝DF，BE＝CF． 【分析】根据BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠AEB＝∠CFD，然后再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠CFD， 选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF； 选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF； 选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF； 选择④不能定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．（2021春•娄底期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2． （