第05讲 等腰三角形的性质与判定（2大考点14种解题方法）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（浙教版）

第05讲 等腰三角形的性质与判定（2大考点14种解题方法） ( 考点 考向 ) 一.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 二.尺规作图：已知底边和底边上的高 已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h. 作法：1.作线段BC=a. 2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D. 3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形. 三.等腰三角形的判定： 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 四.等边三角形的性质： （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 五.等边三角形的判定： （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． ( 考点 精讲 ) 考点一：等腰三角形的性质定理 题型一：等腰三角形的性质的判定 一、单选题 1．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 2．（2022·广东东莞·八年级期末）在等腰三角形ABC中，∠A＝3∠B，则∠C的度数为___________. 3．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，在中，，，平分，交的延长线于点，若，则________． 三、解答题 4．（2022·北京海淀·八年级期末）如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D、E在边BC上，且AD＝AE，求证：BE＝CD． 5．（2021·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期中）已知在直角三角形ABC中，，AD平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，点E在AB上，连接CE交AD于F，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点M在AB上，连接CM交AD于G，过点G作于N，交CF于H，，，，求的面积． 6．（2021·广东东莞·八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB上的高，AF为∠BAC的角平分线，AF交CD于点E,交BC于点F. (1) 如图1，①∠ACD ∠B（选填“<，=，>”中的一个） ②如图1，求证：CE=CF； (2) 如图1，作EG∥AB交BC于点G,若AD=a,△EFG为等腰三角形，求AC（含a的代数式表示）； (3)如图2，过BC上一点M，作MN⊥AB于点N，使得MN=ED，探索BM与CF的数量关系． 7．（2022·陕西安康·八年级期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，，，则与的数量关系为____________． （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数；②证明： 8．（2022·陕西咸阳·八年级期中）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、于点、，连接，． (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)若，求的度数． 题型二：等边三角形的性质 一、单选题 1．（2022·河南洛阳·八年级期末）所谓全等图形是能够完全重合的图形．下列哪些不是全等图形（　　） A．两条射线 B．两条直线 C．两个等边三