考点04 基本不等式-【考点通关】2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019必修第一册)

考点04 基本不等式 1、直接法求最值注意点 ①利用基本不等式法求最值的最基本类型可以分为两类：和积一定一动型、和与平方和一定一动型. 积，和和平方和三者之间的不等式关系： ， ②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等式≤，求最值时要求"一正、二定、三相等". ③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． ④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 2、配凑法 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”. 所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. (2)配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： ①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． (3)形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 3、常数代换法 （1）若已知条件中的“１”（ 常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1 已知正数满足，求的最小值。 模型2 已知正数满足求的最小值。 （2）常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： ①根据已知条件或其变形确定定值(常数)；②把确定的定值(常数)变形为1；③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；④利用基本不等式求解最值． （3）有些问题从形式上看，似乎具备和与倒数和的一些特征，但细究起来，又存在明确的区别，求解此类问题时，需要对条件和结论中的表达式进行合理、巧妙的配凑与构造;从而变形、构造出和与倒数和的关系. 4、消元法 消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留