第12章 第2节 参数方程-2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮课时作业word（老教材，人教A版）

第2节　参数方程 知识点、方法 题号 参数方程与普通方程的互化 2,3 参数方程及应用 1 参数方程与极坐标方程的综合应用 4,5 1.(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点. (1)求α的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程. 解:(1)☉O的普通方程为x2+y2=1. 当α=时,l与☉O交于两点. 当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-. l与☉O交于两点当且仅当||<1, 解得k<-1或k>1, 即α∈(,)或α∈(,). 综上,α的取值范围是(,). (2)l的参数方程为(t为参数,<α<).设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP, 则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin α+1=0. 于是tA+tB=2sin α,tP=sin α. 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 (α为参数,<α<). 2.已知在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρsin(θ-)-3=0,曲线C的参数方程为(α为参数). (1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程; (2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的最大值. 解:(1)由2ρsin(θ-)-3=0, 得 ρsin θ-ρcos θ-3=0, 所以直线l的直角坐标方程为x-y+3=0, 由消α得曲线C的普通方程为x2+=1. (2)设P(cos α,sin α),d==, 所以dmax=. 3.在平面直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C:(θ为参数)相交于不同的两点A,B. (1)若α=,求线段AB的中点的直角坐标; (2)若直线l的斜率为2,且过已知点P(3,0),求|PA|·|PB|的值. 解:(1)由曲线C:(θ为参数), 可得曲线C的普通方程是x2-y2=1.当α=时, 直线l的参数方程为(t为参数), 代入曲线C的普通方程,得t2-6t-16=0. 得t1+t2=6,所以线段AB的中点对应的t==3,故线段AB的中点的直角坐标为(,). (2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,化简得(cos2α-sin2α)t2+6tcos α+8=0, 则|PA|·|PB|=|t1t2|=||=||, 由已知得tan α=2,故|PA|·|PB|=. 4.(2021·云南昆明一中高三一模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点P的极坐标为(3,),曲线C的极坐标方程为ρ2+4ρsin θ=0. (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; (2)若点Q为曲线C上的动点,求PQ中点M到直线l的距离的最小值. 解:(1)直线l的普通方程为x-y-5=0,曲线C的直角坐标方程为x2+(y+2)2=4. (2)曲线C的参数方程为(α为参数),点P的直角坐标为(-3,-3), 中点M(,), 则点M到直线l的距离d=, 当cos(α+)=1时,d的最小值为2-1, 所以PQ中点M到直线l的距离的最小值为2-1. 5.(2021·四川泸县第一中学高三模拟)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=1,曲线C的极坐标方程为ρ= 2acos θ,a>0. (1)设t为参数,若y=t-1,求直线l的参数方程; (2)已知直线l与曲线C交于P,Q,设M(0,-1),且|PQ|2=4|MP|·|MQ|,求实数a的值. 解:(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=1, 所以直线l的直角坐标方程为x-y=1, 因为t为参数,若y=-1+t, 代入上式得x=t, 所以直线l的参数方程为(t为参数). (2)由ρ=2acos θ(a>0),得ρ2=2aρcos θ(a>0), 由x=ρcos θ,y=ρsin θ, 代入得x2+y2=2ax(a>0), 将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立, 得t2-(1+a)t+1=0.(*) 则Δ=-4>0且t1+t2=(1+a),t1t2=1, 设点P,Q分别对应参数t1,t2恰为上述方程的根. 则|MP|=t1,|MQ|=t2,|PQ|=|t1-t2|, 由题设得=4t1t2. 则有=8t1t2,得a=1或a=-3. 因为a>0,所以a=1. 学科网（北京）股份有限公司 $