第2章 第11节 第3课时 利用导数研究不等式专题-2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮课时作业word（老教材，人教A版）

第三课时　利用导数研究不等式专题 知识点、方法 综合运用练 应用创新练 利用导数证明不等式 2,4 利用导数研究不等式恒成立问题 1 5 导数与不等式的综合问题 3 6 1.(2021·陕西榆林高三二模)已知函数f(x)=(x2-3)ex+m. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若∀x1∈(0,+∞),∀x2∈R,f(x1)>-,求m的取值范围. 解:(1)由f(x)=(x2-3)ex+m,得f′(x)=(x2+2x-3)ex=(x+3)(x-1)ex, 当x<-3或x>1时,f′(x)>0,当-3<x<1时,f′(x)<0, 所以f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上单调递增,在(-3,1)上单调递减. (2)因为f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(1)=m-2e, 因为∀x1∈(0,+∞),∀x2∈R,f(x1)>-,所以m-2e>-恒成立. 令t=,则t>0,即m>t2-t3+2e在(0,+∞)上恒成立, 令g(t)=t2-t3+2e,则g′(t)=2t-3t2=t(2-3t), 所以g(t)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减, 所以m>g()=+2e, 故m的取值范围为(+2e,+∞). 2.已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x. 当a=0时,证明:f(x)<2ex-x-4(其中e为自然对数的底数). 证明:当a=0时,函数f(x)=2ln x-x, 由f(x)<2ex-x-4可知ex>ln x+2. 令g(x)=ex-ln x-2(x>0),g′(x)=ex-. 设g′(x0)=0,则=(0<x0<1). 当x∈(0,x0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减; 当x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 所以当x=x0时,g(x)取得唯一的极小值,也是最小值. g(x)的最小值是g(x0)=-ln x0-2=-ln -2=+x0-2>0成立, 故f(x)<2ex-x-4成立. 3.已知函数f(x)=ln(x+2). (1)求函数的图象在点P(-1,0)处的切线l的方程; (2)利用你所学的知识结合函数f(x)=ln(x+2)的图象以及直线l,构造一个关于函数f(x)的解析式及直线l的方程的不等式,并证明你的结论. 解:(1)易知点P(-1,0)在函数f(x)=ln(x+2)的图象上,由f′(x)=可知f′(-1)=1, 所以切线l的方程为y=x+1. (2)结合图象可知x+1>ln(x+2)(x≠-1),证明如下: 构造函数g(x)=x+1-ln(x+2),其导数为g′(x)=1-=. 当x∈(-2,-1)时,g′(x)<0;当x∈(-1,+∞)时,g′(x)>0, 所以g(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增, 所以g(x)>g(-1)=0, 因此对于x∈(-2,-1)∪(-1,+∞),总有x+1>ln(x+2). 注意:本题也可构造不等式x+1≥ln(x+2),证明过程与上面基本相似,此处略. 4.(2021·河南新乡高三一模)已知函数f(x)=ex-k(ln x+1). (1)设x=3是f(x)的极值点,求k的值,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当0<k<e时,f(x)>0. (1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),因为f(x)=ex-k(ln x+1), 所以f′(x)=ex-. 由题意可知f′(3)=0,即e3-=0, 所以k=3e3>0,从而f′(x)是增函数. 又f′(3)=0,所以当x∈(0,3)时, f′(x)<0;当x∈(3,+∞)时,f′(x)>0, 故f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞). (2)证明:当0<k<e时,f(x)=k(-ln x-1), 所以-ln x-1>-ln x-1. 令g(x)=-ln x-1,则g′(x)=-,易知g′(x)在(0,+∞)上单调递增,且g′(1)=0, 所以当x∈(0,1)时,g′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0, 从而g(x)min=g(1)=0,即g(x)≥0,所以当0<k<e时,f(x)>0. 5.已知函数f(x)=-x2+ax-3,g(x)=xln x,a∈R. (1)当x>0时,2g(x)≥f(x),求a的取值范围; (2)证明:当x>0时,g(x)>-. (1)解:当x>0时,2g(x)≥f(x),即2xln x≥-x2+ax-3, 即a≤=2ln x+x+. 设h(x)=2ln x+x+(x>0),则h′(x)=+1-=, 所以当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增, 所以h