第2章 第11节 第2课时 利用导数研究函数的极值与最值-2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮课时作业word（老教材，人教A版）

第二课时　利用导数研究函数的极值与最值 知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练 导数研究函数的极值 1,2,3,7,8 10,12,13 15 导数研究函数的最值 4,5 11 函数的极值与最值综合问题 6,9 14 1.(2021·安徽阜阳高三联考)若函数f(x)=x3-ax2(a>0)的极大值点为a-2,则a=(　B　) A.1 B.2 C.4 D.6 解析:函数f(x)=x3-ax2(a>0)的导数为f′(x)=3x2-2ax.当x<0或x>时,f′(x)>0,当0<x<时,f′(x)<0.所以f(x)的极大值点为0,则a-2=0,解得a=2.故选B. 2.(2021·河南南阳高三期末)已知函数f(x)=ax+ex没有极值点,则实数a的取值范围是(　D　) A.a<0 B.a>0 C.a≤0 D.a≥0 解析:函数f(x)=ax+ex在R上没有极值点,即函数的导数等于0无解或有唯一解(但导数在点的两侧符号相同).函数f(x)=ax+ex的导数为 f′(x)=a+ex,所以a+ex=0无解,所以a=-ex无解,所以a≥0. 故选D. 3.一个矩形铁皮的长为16 cm,宽为10 cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,若记小正方形的边长为x(cm),小盒子的容积为V(cm3),则(　B　) A.当x=2时,V有极小值 B.当x=2时,V有极大值 C.当x=时,V有极小值 D.当x=时,V有极大值 解析:小盒子的容积为V(x)=x(16-2x)(10-2x)=4x3-52x2+160x(0<x<5),所以V′(x)=12x2-104x+160,令V′(x)=0,得x=2或x=(舍去).当0<x<2时,V′(x)>0,V(x)单调递增,当2<x<5时,V′(x)<0,V(x)单调递减,所以当x=2时,V(x)有极大值为144. 故选B. 4.已知函数f(x)=3ln x-x2+(a-)x在区间(1,3)上有最大值,则实数a的取值范围是(　B　) A.( -,5) B.(-,) C.(,) D.(,5) 解析:因为f′(x)=-2x+a-,所以由题设f′(x)=-2x+a-在(1,3)上只有一个零点且单调递减,则问题转化为 即解得-<a<.故选B. 5.设圆柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面半径为(　D　) A. B. C. D. 解析:设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则V=πr2h,即h=,所以S= 2πrh+2πr2=2πr·+2πr2=+2πr2,S′=4πr-=,由S′ >0得,r>;由S′<0得,0<r<,所以r=时,圆柱的表面积最小.故选D. 6.(2021·河南郑州高三联考)已知函数f(x)=x3-(3a+)x2+6ax,若f(x)在(-1,+∞)上既有极大值,又有最小值,且最小值为3a-,则a的取值范围为(　C　) A.(-,) B.(-,-) C.(-,-) D.(-,) 解析:由于函数f(x)=x3-(3a+)x2+6ax的导数f′(x)=3x2-(6a+3)x+6a=(3x-6a)·(x-1)的零点为2a和1, 且f(1)=3a-,所以1是函数的极小值点即最小值点,则2a是函数的极大值点, 所以-1<2a<1,且f(-1)≥3a-,解得-<a≤-.故选C. 7.(2021·河南郑州一模)已知f(x)=(x2+2x+a)ex,若f(x)存在极小值,则a的取值范围是　　　　.  解析:函数f(x)的导数为f′(x)=(2x+2)ex+(x2+2x+a)ex=ex(x2+4x+a+2). 因为函数f(x)的定义域为R,所以若f(x)存在极小值,即函数f(x)有最小值点, 所以x2+4x+a+2=0有两个不相等的实数根,Δ=16-4(a+2)>0,解得a<2. 答案:(-∞,2) 8.(2021·湖北武汉华中师大一附中高三模拟)写出一个定义在R上且使得命题“若f′(1)=0,则1为函数f(x)的极值点”为假命题的函数f(x)=　　　　.  解析:由题意,f′(1)=0且f′(x)在x=1处不存在变号零点,例如f(x)=(x-1)3,则f′(x)=3(x-1)2,所以f′(1)=0,且f′(x)=3(x-1)2≥0,符合题意. 答案:(x-1)3(答案不唯一) 9.已知函数f(x)=.若函数f(x)在x=-1处取得极值,则函数的f(x)的最大值是　　　　 ,最小值是　　　　.  解析:因为f(x)=,则f′(x)==, 由题意可得f′(-1)==0,解得a=4. 故f(x)=,求导得f′(x)=, 由f′(x)=0得x=-1或x=4. 当x变化时,函数f(x),f′(x)的变化情况如表, x (-∞,-1) -1 (-1,4) 4