第2章 第11节 第4课时 利用导数研究函数的零点-2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮课时作业word（老教材，人教A版）

第四课时　利用导数研究函数的零点 知识点、方法 综合运用练 应用创新练 利用导数研究函数零点个数 2 5 根据函数零点求参数 1,3 函数零点的综合应用 4 1.已知函数f(x)=x3-x2,g(x)=-mx,m是实数. (1)若f(x)在区间(2,+∞)上为增函数,求m的取值范围; (2)在(1)的条件下,函数h(x)=f(x)-g(x)有3个零点,求m的取值 范围. 解:(1)函数的导数为f′(x)=x2-(m+1)x, 因为f(x)在区间(2,+∞)上为增函数, 所以f′(x)=x(x-m-1)≥0在区间(2,+∞)上恒成立, 所以x-m-1≥0在区间(2,+∞)上恒成立, 即m≤x-1在区间(2,+∞)上恒成立, 由x>2,得m≤1, 所以m的取值范围是(-∞,1]. (2)h(x)=f(x)-g(x)=x3-x2+mx-, 所以h′(x)=(x-1)(x-m)=0,解得x=m或x=1, 当m=1时,h′(x)=(x-1)2≥0,h(x)在R上是增函数,不符合题意, 当m<1时,令h′(x)>0,解得x<m或x>1,令 h′(x)<0,解得m<x<1, 所以h(x)在(-∞,m),(1,+∞)上单调递增,在(m,1)上单调递减, 所以h(x)极大值=h(m)=-m3+m2-, h(x)极小值=h(1)=, 要使h(x)=f(x)-g(x)有3个零点, 需解得m<1-, 所以m的取值范围是(-∞,1-). 2.设函数f(x)=x2-2kln x(k>0). (1)当k=4时,求函数f(x)的单调区间和极值; (2)讨论函数f(x)在区间(1,)上的零点个数. 解:(1)因为f(x)=x2-2kln x(k>0),k=4, 所以f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=2x-=,令f′(x)=0, 得x=2或x=-2(舍去). 当x变化时,函数f(x),f′(x)变化情况如表: x (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以f(x)在(0,+∞)上的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为 (2,+∞), 在x=2处取得极小值,f(2)=4-8ln 2,无极大值. (2)由(1)知f(x)的最小值为f()=k-kln k, 若函数有零点,则有f()≤0,解得k≥e. 当k≥e时,函数f(x)在(1,)上单调递减, 又f(1)=1>0,f()=e-k≤0,所以函数f(x)在(1,)上有1个零点; 当0<k<e时,函数f(x)的最小值为正数,所以函数f(x)在(1,)上没有零点. 综上,当k≥e时,函数f(x)在(1,)上有1个零点, 当0<k<e时,函数f(x)在(1,)上没有零点. 3.已知函数f(x)=-x2+2ln x+2. (1)求f(x)的极值; (2)若g(x)=ln x+2-x-k-f(x),在(,2)上有两个不同的零点,求实数k的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-2x+=-, 由f′(x)=0得x=1,当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以函数f(x)有极大值f(1)=1,无极小值. (2)若g(x)=x2-ln x-x-k,x∈(,2), g′(x)=2x--1=,则当x=1时,g′(x)=0,当<x<1时,g′(x)<0,当1<x<2时,g′(x)>0, 于是得g(x)在(,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增, g(x)min=g(1)=-k,而g()=ln 2--k,g(2)=2-ln 2-k, 显然g()<g(2),要g(x)在(,2)上有两个不同的零点,当且仅当即0<k<ln 2-,所以实数k的取值范围为(0,ln 2-). 4.已知函数f(x)=e2x+(1-2a)ex-ax(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在定义域内至多有一个零点,求a的取值范围. 解:(1)由题意,函数f(x)=e2x+(1-2a)ex-ax的定义域为R, 且f′(x)=2e2x+(1-2a)ex-a=(2ex+1)(ex-a). 当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在R上单调递增; 当a>0时,令f′(x)=0, 即ex-a=0,解得x=ln a, 当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, 当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(ln a,+∞)上单调递增. 综上所述,当a≤0时,f(x)在R上单调递增; 当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增. (2)由(1)知,当a≤0时,函数f(x)