1.5.1 全称量词与存在量词（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

1．5　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 　 观察下列语句，回答下列问题。 (1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)存在一个x∈R,2x＋1是整数。 【问题】　1.比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有何关系？ 提示：语句(1)无法判断真假，不是命题；语句(3)在语句(1)的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题，语句(1)是命题(3)中的一部分。语句(2)无法判断真假，不是命题；语句(4)在语句(2)的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题。语句(2)是命题(4)中的一部分。 2．常见的量词有哪些？(至少写出5个) 提示：常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等。 常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 　通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养。 1．全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。 (2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。 (3)全称量词命题的表述形式：对M中任意一个x，p(x)成立，可简记为∀x∈M，p(x)。 (4)全称量词命题的真假判断：要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题。 2．存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。 (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。 (3)存在量词命题的表述形式：存在M中的元素x，成立，可简记为∃x∈M，p(x)。 (4)存在量词命题的真假判断：要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题。 微思考 1．全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？ 提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围。p(x)表示集合M的所有元素满足的性质。如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”。 2．在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？ 提示：在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略。 初试身手 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题。(√) 解析　全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”。 (2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题。(√) 解析　存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”。 (3)全称量词命题一定含有全称量词。(×) 解析　有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备“任意性”，这类命题也是全称量词命题，如“正数大于0”即“所有正数都大于0”，故说法是错误的。 2．下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x∈R，x2<0 C．平行四边形的对边不平行 D．矩形的任一组对边都不相等 答案　B 3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在实数x，平方为8 C．所有菱形的四条边都相等 D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立 解析　A，C选项为全称量词命题，A选项错误，C选项正确，B，D选项为存在量词命题。 答案　C 类型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 【例1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题。 (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大。 解　(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0。 (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，满足x2≥2。 (3)是存在量词命题，表示为存在四边形是平行四边形，但四边形的对角线不互相垂直。 (4)是存在量词命题，∃a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大。 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题。 (2