1.4.1 充分条件与必要条件（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

1．4　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 　 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今。“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关。黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”。 【问题】　最后一句“攻破楼兰”与“返回家乡”是什么关系？ 提示：“返回家乡”一定要“攻破楼兰”，即“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。 2．理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。 1.在本节学习中，创设合适的问题情境，以义务教育阶段学过的数学内容为载体，学会用充分条件与必要条件表达学过的相应内容。 2．本节的重点是掌握判断充分条件与必要条件的方法，因此在实际学习中，要多举实例，留出充足的时间思考并掌握解决此类问题的方法。 1．推出符号“⇒”的含义 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，即如果p成立，那么q一定成立，记作“p⇒q”。 (2)如果“若p ，则q”为假命题，即如果p成立，那么q不一定成立，记作“pq”。 2．充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。 微思考 1．p是q的充分条件，是指由条件p可以推出q，那么q成立的充分条件p是不是唯一的？ 提示：不是，q成立的条件p可能有多种。 2．q是p的必要条件，是指由p可以推出q，那么条件p是不是只能推出q? 提示：不是，由p也可能推出其他的结论。 3．充分条件、必要条件与判定定理和性质定理有什么关系？ 提示：数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。 初试身手 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件。(×) 解析　因为“x2＝9” “x＝3”。 (2)“x>0”是“x>1”的充分条件。(×) 解析　因为“x>0” “x>1”。 2．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A．四边形是平行四边形且对角线相等 B．四边形两组对边相等 C．四边形的对角线互相平分 D．四边形的对角线垂直 答案　A 3．x，y∈R，下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条件？(　　) A．x＋y＝0 B．x2＋y2>0 C．x－y＝0 D．x3＋y3≠0 解析　xy≠0，则x≠0且y≠0，所以x2＋y2>0，所以x2＋y2>0是xy≠0的必要条件。 答案　B 类型一 充分条件的判断 【例1】　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若a<b，则<1； (3)若x>1，则x2>1； (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若A>B，则BC>AC； (6)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0。 解　(1)由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件。 (2)由于a<b，当b<0时，>1；当b>0时，<1， 因此pq，所以p不是q的充分条件。 (3)由x>1可以推出x2>1。因此p⇒q， 所以p是q的充分条件。 (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3， 因此pq，所以p不是q的充分条件。 (5)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC。 因此p⇒q，所以p是q的充分条件。 (6)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0， 由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q， 所以p是q的充分条件。 命题判断方法 如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件。 【变式训练】　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB； (2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； (3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方。 解　(1)线段垂直平分线的性质，p⇒q，p是q的充分条件； (2)三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，pq，p不是q的充分条件； (3)相似三角形的性质，p⇒q，p是q的充分条件。 类型二 必要条件的判断 【例2】　给出下列四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc。 试分别指出p是q