1.3 第2课时 补集及综合应用（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教A版）

第2课时　补集及综合应用 　 某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}。 【问题】　没有获得金奖的学生有哪些？ 提示：没有获得金奖的学生的集合为Q＝{赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}。 【新课标·新学法】 课程标准 学法指导 1.在具体情境中，了解全集与补集的含义。 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。 能够在现实情境或数学情境中概括出全集、补集、子集等数学对象的一般特征，并学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达和转换，提升数学抽象和数学运算素养。 1．全集 定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 记法：全集通常记作U。 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 集合语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 ①A∪()＝U，A∩()＝∅； ②＝∅，＝U 微提醒 　的三层含义 (1)表示一个集合。 (2)A是U的子集，即A⊆U。 (3)是U中不属于A的所有元素组成的集合。 微思考 在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？ 提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异。 初试身手 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A。(√) 解析　由集合补集的定义可知三个等式都成立。 (2)若A⊆B⊆U，则∁UA⊇∁UB。(√) 解析　画出Venn图可知，此说法正确。 (3)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一。(√) 解析　根据补集的定义可知，此说法正确。 2．设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<0}，则∁UM＝(　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|0<x<2} C．{x|x<0或x>2} D．{x|x≤0或x≥2} 解析　用数轴画出M，则∁UM＝{x|0≤x≤2}。 答案　A 3．已知全集U＝{x|－5<x<5，x∈Z}，A＝{0,1,2}，则＝________。 解析　全集U＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4}，A＝{0,1,2}，则∁UA＝{－4，－3，－2，－1,3,4}。 答案　{－4，－3，－2，－1,3,4} 类型一 补集的运算 【例1】　(1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM＝(　　) A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6} 解析　因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，由补集的定义，可知∁UM＝{3,5,6}。 答案　C (2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－2，或x>2}，则∁UA＝________。 解析　如图，在数轴上表示出集合A，可知∁UA＝{x|－2≤x≤2}。 答案　{x|－2≤x≤2} 求集合补集的两种方法 (1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解。 (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解。 【变式训练】　(1)设全集U＝R，集合A＝{x|2<x≤5}，则∁UA＝________。 解析　用数轴表示集合A为图中阴影部分， 所以∁UA＝{x|x≤2，或x>5}。 答案　{x|x≤2，或x>5} (2)设全集U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________，∁UB＝________。 解析　解法一：在集合U中，因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}。又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，所以∁UA＝{－5，－4，3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}。 解法二：可用Venn图表示。 则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}。 答案　{－5，－4,3,4}　{－5，－4,5} 类型二 并集、交集、补集的混合运算 命题方向1：借助Venn图进行运算 【例2】　设全集U＝{x|x是不大于9的正整数}，A，B都是U的子集，()∩B＝{1,3}，()∩A＝{2,4,8}，()∩()＝{6,9}，求集合A，B。 解　U＝{x|x是不大于9的正整数}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由()∩B＝{1,3}，()∩A＝{2,4,8}，()∩()＝＝{6,9}，画出Venn图，如图所示，由图可知A＝{2,4,5,7,8}，B＝{1,3,5,7}。