第一章：空间向量与立体几何重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学上学期同步讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

第一章：立体几何与空间向量重点题型复习 题型一 空间向量的线性表示 【例1】如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选：A 【变式1-1】如图，设，，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得： =. 故选：A 【变式1-2】如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（ ） A． B． C．- D． 【答案】B 【解析】因为点P在A1C上，且A1P：PC=2：3， 所以 所以 故选：B. 【变式1-3】如图，在四面体中，，，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，因为，所以， 因为，所以， 所以．故选：C． 题型二 空间向量的共面问题 【例2】（多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（ ） A．若存在实数，，使，则与，共面； B．若与，共面，则存在实数，，使； C．若存在实数，，使则点，，A，共面； D．若点，，A，共面，则存在实数，，使． 【答案】AC 【解析】由向量共面定理可知A正确； 当，为零向量可知B错误； 由向量共面定理可知共面， 又因为共始点，所以点，，A，共面，故C正确； 当，A，三点共线，点P与，A，不共线时可知D错误.故选：AC 【变式2-1】已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】， ∵O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面， ∴，∴.故选：C 【变式2-2】已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线 可得，解之得，故选：D 【变式2-3】，若三向量共面，则实数（ ） A．3 B．2 C．15 D．5 【答案】D 【解析】∵，∴与不共线， 又∵三向量共面，则存在实数m，n使 即，解得．故选：D． 【变式2-4】如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【解析】设，则， 为的中点，， 又，， ， 为共面向量， 又三向量有相同的起点，四点共面． 题型三 空间向量的数量积问题 【例3】如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接， 和都是等边三角形， ， ，平面，平面， 平面，面， ， 在中，，， 由余弦定理， .故选：A. 【变式3-1】四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于：若与垂直，又与垂直，则平面与垂直， 则与垂直，与与不一定垂直矛盾， 所以与不一定垂直，即向量、不一定垂直， 则向量、的数量积不一定为0； 对于：根据题意，有平面，则， 又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直， 则向量、的数量积一定为0； 对于：根据题意，有平面，则， 又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直， 则向量、的数量积一定为0； 对于：根据题意，有平面，则，即向量、一定垂直， 则向量、的数量积一定为0.故选：． 【变式3-2】已知、都是空间向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， ， ，故选：A 【变式3-3】四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】因为，且 所以 所以，即线段的长度是.故选：D. 【变式3-4】如图，在大小为60°的二面角中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是______． 【答案】 【解析】由题意可知，，则∠BFC为二面角的平面角， 故． 又，故异面直线BF，ED所成角也为． ∵， ∴ ， ∴． 故答案为： 题型四 空间向量的对称问题 【例4】求点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A