课时作业(二十九) 高考中的三角函数与解三角形问题（Word练习）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

课时作业(二十九)　高考中的三角函数与解三角形问题 [基础保分练] 1．(2021·山东日照模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝bcos C－ccos B. (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)若|＋|＝2，且AB＝2，求△ABC的面积． (1)证明：由a＝bcos C－ccos B及余弦定理得 a＝b－c＝， 即a2＋c2＝b2.所以B＝，故△ABC是直角三角形． (2)解：取AB的中点D，由|＋|＝2，知||＝，此时BD＝1，在Rt△BCD中，由勾股定理得BC＝，于是△ABC的面积为. 2．(2021·山东淄博模拟)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，△ABC为锐角三角形，且AB＝3，AC＝，∠ABC＝60°. (1)求sin∠BAC的值； (2)求△BCD的面积． 解：(1)在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝，∠ABC＝60°， 由正弦定理得sin∠ACB＝＝， 又因为△ABC为锐角三角形，∴cos∠ACB＝. ∵sin∠BAC＝sin ＝sin(＋∠ACB)， ∴sin∠BAC＝sin∠ACBcos ＋cos∠ACBsin ＝×＋×＝. (2)∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC， ∴sin∠ACD＝sin∠BAC＝. 在Rt△ADC中，AD＝AC×sin∠ACD＝×＝， ∴CD＝＝2， ∵S△BCD＝S△ACD，又S△ACD＝AD×CD＝， ∴S△BCD＝. 3．(2021·上海卷)已知在△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝2c. (1)若A＝，求△ABC的面积； (2)若2sin B－sin C＝1，求△ABC的周长． 解：(1)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A， 代入数据可得7c2＝9，解得c＝. 由面积公式可得 S△ABC＝bcsin A＝×2××＝. (2)依题意，由正弦定理得 sin B＝2sin C， 代入计算得4sin C－sin C＝1， 解得sin C＝，则sin B＝. 当B为锐角时，cos B＝，cos C＝，sin A＝sin(B＋C) ＝sin Bcos C＋cos Bsin C ＝×＋×＝. 由正弦定理＝＝， 得c＝，b＝. 所以C△ABC＝4－＋3. 当B为钝角时，cos B＝－，cos C＝，sin A＝sin(B＋C) ＝sin Bcos C＋cos Bsin C ＝×－×＝. 由正弦定理＝＝， 得c＝，b＝. 所以C△ABC＝4＋＋3. 综上，C△ABC＝4－＋3或4＋＋3. 4．(2021·广西南宁二模)已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(b－a)(sin B＋sin A)＝(b－c)sin C． (1)求A； (2)从①a＝，②S△ABC＝这两个条件中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)因为(b－a)(sin B＋sin A)＝(b－c)sin C， 由正弦定理得(b－a)(b＋a)＝(b－c)c，即b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理得cos A＝＝，A∈(0，π)，所以A＝. (2)选择①a＝，由正弦定理＝＝＝2， 即△ABC周长l＝2sin B＋2sin C＋ ＝2sin B＋2sin(－B)＋＝3sin B＋cos B＋ ＝2sin(B＋)＋， ∵B∈(0，)，∴＜B＋＜，＜sin(B＋)≤1. 即△ABC周长的取值范围为(2，3]． 选择②S△ABC＝，得S△ABC＝bcsin A＝bc＝，得bc＝4. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－12， 即△ABC周长l＝a＋b＋c＝＋b＋c， ∵b＋c≥2＝4，当且仅当b＝c＝2时等号成立， ∴l＝a＋b＋c≥＋4＝6，即△ABC周长的取值范围为[6，＋∞)． [技能提分练] 5．(2021·山东淄博二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos(A－C)＋cos B＝，设m＝(b，c)，n＝(a，b)且m∥n. (1)求角B的大小； (2)延长BC至D，使BD＝5，若△ACD的面积S＝，求AD的长． 解：(1)由cos(A－C)＋cos B＝， 可知cos(A－C)－cos(A＋C)＝， 即cos Acos C＋sin Asin C－cos Acos C＋sin Asin C＝， 可得sin Asin C＝. 由m∥n可得b2－ac＝0， 由正弦定理可知sin2B＝sin Asin C＝， 因为B∈(0，π)，所以sin B＝，因此B＝或. 分别代入cos(A－C)＋cos B＝中， 可知当B＝时，cos(A－C)＝2，不成立．因此B＝. (2)由B＝可知cos(A－C)＝1