专题1.3二次函数的图象与性质十大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍（月考+期中+期末）【人教版】 专题1.3二次函数的图象与性质精讲精练 （知识梳理+典例剖析+变式训练） 【知识梳理】 （一）二次函数的定义 形如(其中，、、是常数)的式子，称是的二次函数. （二）二次函数的性质 开口方向 对称轴 直线直线 直线 顶点坐标 () 增减性 当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少； 最值 当时， 当时， 当时， =（或用代入法）(1)决定抛物线的开口方向 ①开口向上；②开口向下． (2)决定抛物线与y轴交点的位置 ①图象与y轴交点在x轴上方；②图象过原点；③图象与y轴交点在x轴下方． (3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：) ①同号对称轴在y轴左侧；②对称轴是y轴；③异号对称轴在y轴右侧，简记为：左同右异中为0． (4)顶点坐标． (5)决定抛物线与x轴的交点情况． ①△>0抛物线与x轴有两个不同交点； ②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)； ③△<0抛物线与x轴无公共点． (6)二次函数是否具有最大、最小值由a判断． ①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值． （7）的符号的判定： ①若对称轴在直线x=1的左侧，则与同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则与异号，若对称轴为直线x=1，则=0，简记为：1的两侧判，左同右异中为0； ②若对称轴在直线的左侧，则与异号，若对称轴在直线的右侧，则与同号，若对称轴为直线，则=0，简记为：－1的两侧判，左异右同中为0； ③当时，，所以的符号由时，对应的函数值的符号决定； 当时，，所以的符号由时，对应的函数值的符号决定； 当时，，所以的符号由时，对应的函数值的符号决定； 当时，，所以的符号由时，对应的函数值的符号决定； 简记为： 表达式，请代值，对应y值定正负； 对称轴，用处多，三种式子相约； 轴两侧判，左同右异中为0； 1的两侧判，左同右异中为0； -1两侧判，左异右同中为0. （三）二次函数的解析式 ①一般式：(，用于已知三点，求抛物线的解析式. ②顶点式：，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式. ③交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式. （四）二次函数的增减性 当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少. （五）二次函数图象的平移 方法一：顶点法 二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。 方法二：直接法如果y是x的函数，则可以用直接法。平移规律如下： 左右平移变x，左+右－；上下平移变常数项，上+下-；平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找. （六）对称： 关于x轴对称的解析式为，关于y轴对称的解析式为，关于原点轴对称的解析式为，在顶点处翻折后的解析式为（a相反，定点坐标不变）. （七）二次函数的最值 （1）一般二次函数求最值 根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。 （2）给定自变量取值范围求二次函数的最值 ①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。 ②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。 （3）分段函数求最值 根据（2）中的方法求出每一段的最大（小）值，最后比较得出整个函数的最大（小）值。 （八）二次函数与不等式（组） 若，则的解集是x轴上方的图象对应的自变量x的取值范围，的解集是x轴下方的图象对应的自变量x的取值范围。 【典例剖析】 【考点1】二次函数的定义 【例1】（2021·江苏·启东市百杏中学九年级阶段练习）下列关于的函数一定为二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2020秋•抚顺县期末）函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）是二次函数的条件是（　　） A．a≠0，b≠0，c≠0 B．a＜0，b≠0，c≠0 C．a＞0，b≠0，c≠0 D．a≠0 【变式1.2】（2019秋•鄂城区期中）下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【变式