1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(第2课时)-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

直线 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 (第2课时：用空间向量研究空间角问题) 复习引入 与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量.下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看下列问题. 例析 例7.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中分别为的中点，求直线和夹角的余弦值. 解：(化为向量问题)如图，以作为基底， 则. 设向量与的夹角为，则直线和夹角的余弦值等于. (进行向量运算) 例析 例7.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中分别为的中点，求直线和夹角的余弦值. 解：又和均为等边三角形，所以. 所以 (回到图形问题) 所以直线和夹角的余弦值为 新知探索 思考1：以上我们用向量方法解决了异面直线和所成角的问题，你能用向量方法求直线与平面所成的角吗？ 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，则. 新知探索 类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则 . 新知探索 如图，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角. 类似于两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是和，则平面和平面的夹角即向量 的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则 . . 例析 例8.如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，.求平面与平面夹角的余弦值. 解：(化为向量问题)以为原点，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角. (进行向量运算)因为平面，所以平面的一个法向量为. 例析 例8.如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，.求平面与平面夹角的余弦值. 解：根据所建立的空间直角坐标系，可知，， 所以设，则 所以所以取，则 . 例析 例8.如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，.求平面与平面夹角的余弦值. 解：(回到图形问题)设平面与平面的夹角为，则 即平面与平面的夹角的余弦值为 例析 例9.图