内容正文:
优质教学资源合集
怀着“帮助和推动教学、学习进步”的使命,优翼与一线教师联合编写,为各位老师提供优质的原创资源,内含教学课件、教案、配套习题课件、原创模拟卷、课文朗读音视频等资料。
优 翼 课 件
九年级数学上(RJ)
教学课件
21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1. 探索一元二次方程的根与系数的关系;(重点)
2. 不解方程,利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.(难点)
导入新课
韦达,1540 年出生于法国的波亚图,他把符号
系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用,人们为
了纪念他在代数学上的功绩,称他为“代数学之父”.
历史上流传着一个有关韦达的趣事: 有一次,荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战. 国王于是把这个问题交给韦达,韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外 22 个正数解(他舍弃了另外 22 个负数解). 消息传开,数学界为之震惊. 同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来.
他发现了方程根与系数的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”).
情景引入
复习引入
(1) x2 + 3x - 4 = 0;(2) x2 - 5x + 6 = 0;(3) 2x2 + 3x + 1 = 0.
一元二次方程 两 根
x1 x2
x2 + 3x - 4 = 0
x2 - 5x + 6 = 0
2x2 + 3x + 1 = 0
-4
1
2
3
-1
-3
-4
5
6
将二次项系数化为 1
想一想 方程的两根 x1 和 x2 与系数 a,b,c 有什么关系?
算一算 解下列方程并完成填空:
x1 + x2 = ?
x1·x2 = ?
(1)一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1,x2 为已知数) 的两根是什么?若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式,你能看出 x1,x2 与 p,q 之间的关系吗?
讲授新课
探索一元二次方程的根与系数的关系
一
猜一猜
重要发现
方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1,x2 满足上面两个关系式
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p, x1·x2 = q
猜一猜
(2)通过前面的表格猜想,如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1,x2,那么,你可以发现什么结论?
证一证:
注:b2 - 4ac≥0
↗
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1, x2,那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac≥0.
归纳总结
一元二次方程的根与系数的关系的应用
二
例1 利用一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积.
(1)x2 – 6x – 15 = 0;
解: a = 1,b = – 6, c = – 15.
Δ = b2 - 4ac = ( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2,那么
x1 + x2 = – ( – 6 ) =6, x1 x2 = - 15.
(2)3x2 + 7x - 9 = 0;
x1 + x2 = − , x1 x2 =
解:a = 3,b = 7,c = -9.
Δ = b2 − 4ac = 72 – 4×3×( − 9 ) = 157 > 0,
∴ 方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1,x2,那么
(3) 5x – 1 = 4x2.
解:方程可化为 4x2 – 5x + 1 = 0.
a = 4,b = – 5,c = 1.
Δ = b2 − 4ac = ( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0.
∴ 方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1,x2,那么
x1 + x2 = ,