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优 翼 课 件
九年级数学上(RJ)
教学课件
21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程;(难点)
2. 掌握用公式法解一元二次方程;(重点)
3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
导入新课
复习引入
解:方程整理得
配方得
开平方得
解得
1. 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0 ?
想一想 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
能否也用配方法得出它的解呢?
讲授新课
求根公式的推导
一
合作探究
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
方程两边都除以 a,得
解:移项,得
配方,得
即
问题:对于方程①接下来能用直接开平方解吗?
∵ a≠0,∴ 4a2 > 0.
而 b2-4ac 的符号有以下三种情况:
(1)b2-4ac >0,
这时 >0,由①得
则方程有两个不相等的实数根
(2)b2 - 4ac = 0,
这时 = 0,由①可知,方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = - .
(3)b2 - 4ac <0,
这时 <0,由①可知 <0,而 x 取任何实数都不能使 <0,因此方程无实数根.
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示,即 Δ = b2 − 4ac.
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
Δ≥0
一元二次方程根的判别式
二
9
按要求完成下列表格:
练一练
的值
0
4
根的
情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
Δ
10
例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1,下列判断正确的是( )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
解析:原方程即 x2 + x − 1 = 0,a = 1,b = 1,c = −1,
∵ Δ = b2 − 4ac = 12 − 4×1×(−1) = 5>0,
∴ 该方程有两个不等的实数根,故选 B.
B
典例精析
11
例2 不解方程,判断下列方程的根的情况:
(1)3x2 + 4x − 3 = 0; (2)4x2 = 12x − 9;
解:(1)a = 3,b = 4,c = −3,
∴ Δ = b2 − 4ac = 42 − 4×3×(−3) = 52>0.
∴ 方程有两个不相等的实数根.
(2)方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0,a = 4,b = −12,c = 9,
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根.
(3)7y = 5( y2 + 1 ).
解:方程化为 5y2 −7y + 5 = 0,a = 5,b = −7,c = 5,
∴ Δ = b2-4ac = (−7)2-4×5×5 = −51<0.
∴ 方程没有实数根.
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法:
将方程整理为一般形式
ax2+bx+c=0
Δ = b2 − 4ac > 0
Δ = b2 − 4ac = 0
Δ = b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
例3 若关于 x 的一元二次方程 x2 + 8x + q = 0 有两个不等的实数根,则 q 的取值范围是 ( )
A. q≤4 B. q≥4
C. q<16 D. q>16
C
解析:方程有两个不等的实数根,根据根的判别式,则 Δ = b2 − 4ac>0,即 82 − 4q>0. 解得 q<16