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优 翼 课 件
九年级数学上(RJ)
教学课件
第二十一章 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
21.2 解一元二次方程
第2课时 配方法
21.2.1 配方法
学习目标
1. 理解配方法的概念;
2. 掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题;
(重点)
3. 探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
(难点)
导入新课
复习引入
(1) 9x2 = 1;
(2) (x-2)2 = 2.
1. 用直接开平方法解下列方程:
2. 你还记得完全平方公式吗?填一填:
(1) a2 + 2ab + b2 = ( )2;
(2) a2 - 2ab + b2 = ( )2.
a + b
a − b
解:
解:
3. 下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2 + 6x + 9 = 5;
(2) x2 + 4x + 1 = 0.
讲授新课
用配方法解方程
一
探究交流
解:方程变形为 (x + 3)2 = 5,
试一试 解方程: x2 + 6x + 9 = 5.
开平方,得
解得
将方程左边因式分解,得到完全平方式
用直接开平方法解方程
任何一元二次方程都可以通过配方法求解. 那如何配方呢?
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1)x2 + 4x + = ( x + )2;
(2)x2 − 6x + = ( x − )2;
(3)x2 + 8x + = ( x + )2;
(4)
x2 − x + = ( x − )2.
你发现了什么规律?
22
2
32
3
42
4
填一填
对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式,将常数项配成一次项系数一半的平方时,可得完全平方式.
填一填:
x2 + px + ( )2 = ( x + )2.
把握二次项系数为 1 的完全平方式的特点:
常数项等于一次项系数一半的平方.
归纳总结
配方的关键
想一想 怎样解方程 x2 + 4x + 1 = 0 (I) ?
问题1 能不能将方程 (I) 变成 (x + n)2 = p 的形式呢?
解:
x2 + 4x + 1 = 0
x2 + 4x = −1
移项
x2 + 4x + 4 = −1 + 4
两边都加上 4
为什么在方程 x2 + 4x = −1 的两边加上 4 ?加其他的数,行吗?
(x + 2)2 = 3
左边写成完全平方的形式
要点归纳
像上面这样,通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.
配方法的定义
配方法解一元二次方程的基本思路
把方程化为 (x + n)2 = p 的形式,再运用直接开平方法降次,转化为两个一元一次方程求解.
例1 解下列方程:
分析:(1) 方程的二次项系数为 1,直接运用配方法;
(2) 先移项,将方程化为一般式,再将二次项系数化为 1,然后用配方法解方程;
(3) 与(2)类似,将二次项系数化为 1 后再配方.
典例精析
解:移项,得
x2-8x = -1.
配方,得
x2-8x + 42 = -1 + 42,
(x-4)2 = 15.
直接开平方得
即
配方,得
直接开平方得
二次项系数化为 1,得
解:移项,得
2x2-3x = -1.
即
移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换呢?
配方,得
∵ 实数的平方不会是负数,∴ x 取任何实数时,上式都不成立.∴ 原方程无实数根.
解:移项,得
二次项系数化为 1,得
为什么方程两边都加 12?
即
练一练 解下列方程:
(1) x2 + 8x + 4 = 0;
(2) 4x2 + 8x = -4;
(3) -2x2 + 6x - 8 = 0.
解:移项,得 x2 + 8x =-4.
配方,得 (x + 4)2 =12.
开平方,得
解得
解:整理,得 x2 + 2x + 1 = 0.
配方,得 (x + 1)2 = 0.
开平方,得 x + 1 = 0.
解得 x1 = x2 = −1.
解:整理,得 x2 − 3x = −4.
配方,得
所以原方程无实数根.
①当 p > 0 时,方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
②当 p = 0 时,方程(Ⅱ)有两个相等的实数根