专题2.4 基本不等式-重难点题型检测-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.4 基本不等式-重难点题型检测 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）（2022春•韩城市期末）函数的最小值为（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【解题思路】利用基本不等式化简即可求解． 【解答过程】解：由题意f（x）＝5x20， 当且仅当5x，即x＝2时取等号，此时取得最小值为20， 故选：C． 2．（3分）（2022春•郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（　　） A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤2 【解题思路】由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（）2，x2+y2﹣1＝xy，分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可． 【解答过程】解：对于A，B，由x2+y2＝1+xy可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（）2，即 1， ∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B错， 对于C，D，由x2+y2＝1+xy可得，x2+y2﹣1＝xy， ∴x2+y2≤2，故C错，D对， 故选：D． 3．（3分）（2022春•黄陵县校级期末）下列函数中，最小值为2的是（　　） A． B．y＝x2﹣2x+4 C． D． 【解题思路】选项A，利用排除法，当x＜0时，y＜0； 选项B，由配方法，可得y≥3； 选项C，利用基本不等式，可得解； 选项D，采用换元法，令t，则y＝t，再结合对勾函数的图象与性质，得解． 【解答过程】解：选项A，当x＜0时，y＜0，即A不符合题意； 选项B，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3≥3，即B不符合题意； 选项C，y＝x222，当且仅当x2，即x＝±1时，等号成立，即C符合题意； 选项D，令t，则y＝t在[，+∞）上单调递增， 所以y，当且仅当t时，等号成立，即D不符合题意． 故选：C． 4．（3分）（2022秋•哈尔滨月考）设a＞0，b＞0，若a+3b＝5，则的最小值为（　　） A．9 B．2 C．6 D．4 【解题思路】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答过程】解：a＞0，b＞0，a+3b＝5， 则36， 当且仅当且a+3b＝5，即a＝2，b＝1时取等号． 故选：C． 5．（3分）（2022秋•南关区校级月考）已知正实数a，b满足，则a+2b的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【解题思路】根据a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（）﹣1，结合基本不等式求解即可． 【解答过程】解：∵正实数a，b满足， ∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（）﹣1＝51≥5+21＝8，当且仅当a+b＝2（b+1）时等号成立， 故选：B． 6．（3分）（2021秋•泽普县校级月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用数形结合计算出OF，OC，再在Rt△OCF中，利用勾股定理得CF，再由CF≥OF，可解． 【解答过程】解：由图形可知：OF，OC， 在Rt△OCF中，由勾股定理得：， 又CF≥OF， ∴，（a，b＞0）， 故选：C． 7．（3分）（2022春•营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且t恒成立，则实数t的取值范围是（　　） A．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜2 【解题思路】利用“乘1法”，可得1，从而得解． 【解答过程】解：（a+b）（）（2）（2+2）＝1，当且仅当，即a＝b＝2时，等号成立， 因为a≠b，所以1， 又t恒成立，所以t≤1． 故选：A． 8．（3分）（2021秋•李沧区校级月考）若x＞0，y＞0，且1，x+2y＞m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．﹣8＜m＜1 B．m＜﹣8或m＞1 C．m＜﹣1或m＞8 D．﹣1＜m＜8 【解题思路】根据题意，分析可得x+2y＝（x+2y）（）＝4，由基本不等式的性质求出x+2y的最小值，再由二次不等式的解法，解可得m的取值范围． 【解答过程】解：根据题意，x＞0，y＞0，且1， 则x+2y＝（x+2y）（）＝44+28， 当且仅当x＝2y＝4时等号成立， 即x+2y的最小值为8， 若x+2y＞m2+7m恒成立，必有m2+7m＜8，解