专题09 以相似为载体的综合问题（上海真题10道+模拟30道）-2023年中考数学重难题型押题培优导练案（上海专用）

 2023中考数学重难题型押题培优导练案（上海专用） 专题09以相似为载体的综合问题（上海真题10道+模拟30道） 【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢 考点 考查年份 考查频率 以相似为载体的综合问题（大题） 2012.2014.2015.2018.2019.2020. 2021.2022 十年7考 以相似为载体的综合问题是上海市中考近几年必考的解答题，有一定的综合程度，对于三角形相似的判定方法有： （1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （3）判定定理①：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理②：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理③：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似. 相似三角形的存在性问题是中考压轴题目的一个重要题型，分类讨论是这类问题的关键.通常这类问题有三种情况： （1）对应边已经明确，则通常设点的坐标，通过相似三角形的性质对应边成比例来解； （2）若有一组对应角相等，则根据对应边成比例分两种情况进行分类讨论（对应边交换位置）； （3）若没有明确对应角，则可以通过平行线或者圆的性质等构造一组对应角，再根据对应边成比例分类讨论列出比例式. 【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分 【例1】（2021•上海）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边或边于点． （1）当点在上， ①求证：； ②若，求的值； （2）若，，求的长． 【例2】．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形中，，点，在线段上，点在线段上，且，． 求证：（1）； （2）． 【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心 1．（2012•上海）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、，，与交于点． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是平行四边形． 2．（2012•上海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，与轴交于点，点在线段上，，点在第二象限，，，，垂足为． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求线段、的长（用含的代数式表示）； （3）当时，求的值． 3．（2014•上海）已知：如图，梯形中，，，对角线、相交于点，点是边延长线上一点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，交于点，求证：． 4．（2015•上海）已知，如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接． （1）求证：； （2）如果，求证：． 5．（2018•上海）已知：如图，正方形中，是边上一点，，，垂足分别是点、． （1）求证：； （2）连接，如果．求证：． 6．（2019•上海）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，如果，且，求的值； （3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 7．（2019•上海）已知：如图，、是的两条弦，且，是延长线上一点，联结并延长交于点，联结并延长交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：四边形是菱形． 8．（2020•上海）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优 1．（2022·上海普陀·二模）已知如图，四边形中，，E为对角线的中点，点F在边上，交于点G，． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果，求证：． 2．（2022·上海奉贤·二模）已知：如图，在矩形中，点E在边的延长线上，，连接，分别交边、对角线于点F、G，． (1)求证：； (2)求证：． 3．（2022·上海松江·二模）已知：如图，两个和中，，，，且点、、在一条直线上．联结、，与交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 4．（2022·上海崇明·二模）如图，在中，．点E是线段AB上一动点，点G在BC的延长线上，且，连接EG，以线段EG为对角线作正方形EDGF，边ED交AC边于点M，线段EG交AC边于点N，边EF交BC边于点P． (1)求证：﹔ (2)设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域； (3)连接NP，当是直角三角形时，求AE的值． 5．（2022·上海奉贤·二模）如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结． (1)求证：； (2)如果． ①当，求的长； ②当时，求的