13.1.2线段的垂直平分线的性质-【高效导学】2022-2023学年八年级数学上册同步多维突破讲与练（人教版）

人教版八年级数学上册《第十三章 轴对称》 课题：13.1.2 线段的垂直平分线的性质 知识点梳理 ★★★线段垂直平分线的性质和判定 ◆线段垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． ◆线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． ◆线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 知识点训练 线段的垂直平分线的性质知识点 一 1．（2022•南京模拟）如图，在△ABC中，AC＝6cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是13cm，则BC的长为（　　） A．6cm B．7cm C．8cm D．13cm 【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到AN＝BN，进而得出BN+CN＝AC＝6cm，再根据△BCN的周长是13cm，即可得到BC的长． 【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N， ∴AN＝BN， ∴BN+CN＝AN+CN＝AC＝6（cm）， 又∵△BCN的周长是13cm， ∴BC＝13﹣（BN+CN）＝13﹣6＝7（cm）， 故选：B． 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 2．（2022春•新城区校级期末）如图，△ABC中，AB＝4，BC＝9，线段AC的垂直平分线交BC于点E，则△ABE的周长为（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴△ABE的周长＝AB+BE+EA＝AB+BE+EC＝AB+BC， ∵AB＝4，BC＝9， ∴△ABE的周长＝AB+BC＝4+9＝13， 故选：B． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 3．（2022春•本溪期末）如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为点G，E，F是AB上两点．下列结论不正确的是（　　） A．EC＝CD B．EC＝ED C．CF＝DF D．CG＝DG 【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可解答． 【解答】解：∵AB是线段CD的垂直平分线， ∴EC＝ED，FC＝FD，CG＝DG， 故B、C、D不符合题意； ∵△ECD不一定是等边三角形， ∴EC≠CD， 故A符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 4．（2021秋•永吉县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝14cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为14cm， ∴AB+BC+AC＝14（cm）， ∵AC＝6cm， ∴AB+BC＝8（cm）， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴DC＝DE+EC（AB+BC）＝4（cm）． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 线段的垂直平分线的判定知识点 二 5．已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且AP＝PB，下列结论，①OA＝OB；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上，其中正确的有　④　． 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【解答】解：∵直线l与线段AB交于点O， ∴①OA＝OB，错误； ②PO⊥AB，错误； ③∠APO＝∠BPO，错误； ∵AP＝PB， ∴④点P在线段AB的垂直平分线上，正确， 故答案为：④． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握点到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 6．在△ABC中，PA＝PB＝PC，则点P是△ABC（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三边垂直平分线交点 D．三条角平分线的交点 【分析】利用线段的垂直平分线的性质进行思考，首先思考满足PA＝PB的点的位置，然后思考满足PB＝PC的点的位置，答案可得． 【解答】解：∵