专题06 全国初中数学竞赛分类汇编卷（一） 有理数综合（提优）-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专题6 有理数综合（提优） 1．若实数x，y，使得这四个数中的三个数相等，则|y|﹣|x|的值等于（　　） A． B．0 C． D． 2．对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为：（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）＝（u，v），那么（x，y）为（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1） 3．如果4个不同的正整数m、n、p、q满足（7﹣m）（7﹣n）（7﹣p）（7﹣q）＝4，那么，m+n+p+q等于（　　） A．10 B．21 C．24 D．28 4．观察下列各式： ， ， ， … 计算：3×（1×2+2×3+3×4+…+99×100）＝（　　） A．97×98×99 B．98×99×100 C．99×100×101 D．100×101×102 5．下面是按一定规律排列的一列数； 第1个数：； 第2个数：； 第3个数：；…… 第n个数：． 那么，在第9个数，第10个数，第11个数，第12个数中，最小的数是（　　） A．第9个数 B．第10个数 C．第11个数 D．第12个数 6．设a＝3050，b＝4040，c＝5030，则a，b，c中最大的是　 　，最小的是　 　． 7．计算： 8．自选题：如图，显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：，，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值． 9．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+……+22020+22021的值，采用以下方法： 设S＝1+2+22+……+22020+22021① 则2S＝2+22+……+22021+22022② ②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）2+22+…+220＝　 　； （2）求1　 　； （3）求（﹣2）+（﹣2）2+……+（﹣2）100的和；（请写出计算过程） （4）求a+2a2+3a3+……+nan（其中a≠0且a≠1）的和．（请写出计算过程） 10．赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕已久的大学．后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告．报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的a，b，c，…，z26个字母（不论大小写）依次用1，2，3，…，26这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：；已知对于任意的实数x，记号[x]表示不超过x的最大整数；将英文字母转化成密码，如，即h变成q，再如，即k变成f．他们给出下列一组密码：etwcvcjwejncjwwcabqcv，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言．现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 有理数综合（提优） 1．若实数x，y，使得这四个数中的三个数相等，则|y|﹣|x|的值等于（　　） A． B．0 C． D． 【解答】解：因为有意义，所以y不为0，故x+y和x﹣y不等 （1）x+y＝xy解得y＝﹣1，x， （2）x﹣y＝xy解得y＝﹣1，x， 所以|y|﹣|x|＝1． 故选：C． 2．对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为：（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）＝（u，v），那么（x，y）为（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1） 【解答】解：∵（u，v）△（x，y）＝（ux+vy，uy+vx）＝（u，v）， ∴ux+vy＝u，uy+vx＝v， ∵对于任意实数u，v都成立， ∴x＝1，y＝0， ∴（x，y）为（1，0）． 故选：B． 3．如果4个不同的正整数m、n、p、q满足（7﹣m）（7﹣n）（7﹣p）（7﹣q）＝4，那么，m+n+p+q等于（　　） A．10 B．21 C．24 D．28 【解答】解：∵m、n、p、q为4个不同的正整数， ∴7﹣m、7﹣n、7﹣p、7﹣q为4个不同的整数， 又∵4＝2×2×1×1， ∴4＝﹣1×（﹣2）×1×2， ∴7﹣m、7﹣n、7﹣p、7﹣q为﹣2、﹣1、1、2， ∴（7﹣m）+（7﹣n）+（7﹣p）+（7﹣q）＝﹣2+（﹣1）+1+2＝0， ∴m+n+p+q＝28． 故选：D． 4．观察下列各式： ， ， ， … 计算：3×（1×2+2×3+3×4+…+99×100）＝（　　） A．97×98×99