2.1.1 椭圆及其标准方程-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

1.1　椭圆及其标准方程 (教师独具内容) 课程标准：1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程． 教学重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程． 教学难点：椭圆标准方程的推导． 核心素养：通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养. 知识点一　　椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距. 知识点二　　椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图象 焦距 |F1F2|＝2c 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 1．对椭圆定义的理解 设两定点F1，F2，点到F1，F2的距离之和为2a. (1)当2a>|F1F2|时，点的轨迹是椭圆． (2)当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是以F1，F2为端点的线段． (3)当2a<|F1F2|时，点的轨迹不存在． 2．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能； (2)设方程 ①依据上述判断设方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)； ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)； (3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组； (4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹称为椭圆．(　　) (2)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　　) (3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　　) (4)设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝m＋(m＞2)，则点P的轨迹是椭圆．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 (2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为__________. (3)椭圆的方程为＋＝1，则a＝________，b＝________，c＝________. (4)椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________. 答案　(1)A　(2)＋＝1　(3)3　2　　(4)6 题型一 椭圆的定义 例1　(1)已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C． [答案]　C (2)已知△ABC的周长是8，且B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A．＋＝1(x≠±3) B．＋＝1(x≠0) C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0) [解析]　∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2，∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2.又A，B，C三点不共线，∴顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)． [答案]　A 1．对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件． 2．椭圆定义的两个应用 (1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆． (2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a. [跟踪训练1]　(1)下列说法中正确的是(　　) A．到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于12的点的