1.2.3 直线与圆的位置关系-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

2.3　直线与圆的位置关系 (教师独具内容) 课程标准：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 教学重点：直线与圆的三种位置关系及其判定方法． 教学难点：用代数方法探求直线与圆的位置关系的过程． 核心素养：通过判断直线与圆的位置关系，进一步提升数学抽象及数学运算素养. 知识点　　直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系可由圆心到直线的距离与半径的大小关系来决定，也可以根据它们的方程组成的方程组解的情况来决定． 一般地，已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心C(a，b)到直线l的距离d＝(A，B不全为0)． ①几何法 当d<r时，直线l与圆C相交； 当d＝r时，直线l与圆C相切； 当d>r时，直线l与圆C相离. ②代数法 由方程组解的情况来判断直线l和圆C的位置关系； 当方程组有两组不同的实数解时，直线l与圆C相交；当方程组只有一组实数解(两组相等的实数解)时，直线l与圆C相切；当方程组没有实数解时，直线l与圆C相离. 1．求圆的切线的方法 (1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程 先求切点与圆心的连线的斜率k，则由垂直关系，知切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0.特别地，若(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2上一点，则过此点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线． 代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．并注意检验当k不存在时，直线x＝x0是否为圆的切线． 2．切线段的长度公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则P到切点的切线段长为 d＝ . (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，则P到切点的切线段长为 d＝ . 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　) (2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　) (3)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．(　　) (4)当m＝2时，直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝1必相切．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　) A．±1 B．± C．± D．± (2)若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m＝________. (3)直线4x－3y＋6＝0与圆2x2＋2y2－16x＋4y＝16的位置关系是________. (4)当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，则a的取值范围为________. 答案　(1)C　(2)2　(3)相切 (4)(－∞，－1)∪(3，＋∞) 题型一 直线与圆位置关系的判断 例1　已知圆的方程是x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，直线与圆相交？相切？相离？ [解]　解法一：联立得2x2－2(1＋b)x＋b2＋2b－1＝0　①，其判别式Δ＝4(1＋b)2－8(b2＋2b－1)＝－4(b＋3)(b－1)， 当－3<b<1时，Δ>0，方程①有两个不相等的实数根，直线与圆相交． 当b＝－3或b＝1时，Δ＝0，方程①有两个相等的实数根，直线与圆相切． 当b<－3或b>1时，Δ<0，方程①无实数根，直线与圆相离． 解法二：圆心(0,1)到直线y＝x－b的距离d＝，圆的半径r＝. 当d<r，即－3<b<1时，直线与圆相交； 当d＝r，即b＝－3或b＝1时，直线与圆相切； 当d>r，即b<－3或b>1时，直线与圆相离． 直线与圆的位置关系的两种判断方法 (1)直线与圆的位置关系的两种判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较简单；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离表达较复杂，则用代数法较简单． (2)由直线与圆的位置关系求参数的问题，首先判断直线与圆的位置关系，然后将此转化为圆心到直线的距离与半径长的关系，并结合其他条件解题，注意半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形在解题中的应用． [跟踪训练1]　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆： (1)相交？