1.2.2 圆的一般方程-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

2.2　圆的一般方程 (教师独具内容) 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点． 教学难点：根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题． 核心素养：通过推导圆的一般方程并运用方程解决问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养. 知识点　　圆的一般方程 (1)圆的一般方程的定义 ①当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为 . ②当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点. ③当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． (2)对于二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0而言，圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时，其在代数结构上的典型特征： ①x2，y2的系数相同，且不等于0，即A＝B≠0； ②不含xy这样的二次项，即C＝0. 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件． 　由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点P(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点P在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 点P在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点P在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程2x2＋y2－7y＋5＝0表示圆．(　　) (2)方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0表示圆．(　　) (3)方程x2＋y2＋2x＋1＝0表示圆．(　　) (4)方程3x2＋3y2＋3ax－3ay＝0(a≠0)表示圆．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________. (2)过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为________. (3)方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是________. (4)若直线3x＋y＋a＝0经过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则实数a的值为________. 答案　(1)(2，－3)　(2)x2＋y2－3x－4y＝0 (3)m<1　(4)1 题型一 圆的一般方程的定义 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解]　(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0， 解得m<，故m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成圆的标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 二元二次方程与圆的关系 (1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆． (2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心和半径长的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径长；②运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式r＝求出半径长． [跟踪训练1]　下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． 解　(1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程(1)不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程(2)表示点(－a,0)． (3)两边同除以2，得 x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0， ∴D2＋E2－4F＝2a2>0， ∴方程(3)表示圆，它的圆心为， 半径r＝＝|a|. 题型二 求圆的一般方程 例2　已知Rt△ABC的顶点A(8,5)，直角顶点为B(3,8)，顶点C在y轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)Rt△ABC外接圆的一般方程． [解]　(1)设顶点C(0，m)，由题意得 kAB·kBC＝－1，且kAB＝＝－， 所以kBC＝＝， 解得m＝3，所以顶点C(0,3)． (2)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知解得 所以Rt△ABC外接圆