1.2.1 圆的标准方程-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

2.1　圆的标准方程 (教师独具内容) 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 教学重点：圆的标准方程的特点，用待定系数法求圆的标准方程． 教学难点：用数形结合法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的问题． 核心素养：通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养. 知识点一　　圆的标准方程 (1)圆的几何要素：圆的几何要素是圆心和半径. (2)圆的标准方程：圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C为(a，b)，半径为r(r>0)． 知识点二　　点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)．设所给点为P(x0，y0)，则 位置 关系 判断方法 几何法 代数法 点在 圆上 |PC|＝r⇔点P在圆C上 点P(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在 圆内 |PC|<r⇔点P在圆C内 点P(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2 点在 圆外 |PC|>r⇔点P在圆C外 点P(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点． 2．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 圆的标准方程 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2>0) 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r>0) 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) 3．求圆的标准方程的常用方法 (1)几何法 利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果． (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解． 4．求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心． (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． (3)圆心与切点的连线长是半径长． (4)圆心与切点的连线必与切线垂直． 5．与圆有关的最值问题 已知点P(x，y)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，求圆上的点P到定点M(m，n)的距离d＝的最值问题的处理方法如下： (1)求圆心O(a，b)与定点M(m，n)的距离dMO. (2)根据圆的几何性质知： ①当M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r； ②当M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(　　) (4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为(　　) A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4 C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－3)2＋y2＝4 (2)若圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为，则此圆的标准方程为____________________. (3)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝(－5)2，则圆的圆心坐标为________，半径为____________. (4)已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝2，则点A(1,0)与圆的位置关系是____________. 答案　(1)A　(2)(x＋1)2＋(y－3)2＝3 (3)(－2,2)　5　(4)点A在圆上 题型一 点与圆的位置关系　 例1　已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围． [解]　∵点A在圆C的内部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2<2a2且a≠0， ∴a<－且a≠0，∴a的取值范围是a<－. [条件探究]　将本例改为：已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围． 解　解法一：