1.1.6 平面直角坐标系中的距离公式-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

1.6　平面直角坐标系中的距离公式 (教师独具内容) 课程标准：探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 教学重点：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式的应用． 教学难点：点到直线的距离公式的推导过程． 核心素养：通过研究两点间的距离公式、点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养. 知识点一　　两点间的距离公式 对于坐标平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得A，B两点间的距离公式|AB|＝ . 知识点二　　点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(其中A，B不全为0)． 知识点三　　两条平行直线间的距离公式 (1)两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长，也就是一条平行直线上任一点到另一直线的距离. (2)两条平行直线间的距离公式 ①P(x0，y0)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2间的距离d＝. ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不全为0，且C1≠C2)间的距离d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2)． 1．对两点间距离公式的几点说明 (1)公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|＝. (2)若B点为原点，则|AB|＝|OA|＝. (3)若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－x1|. (4)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－y1|. 2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|. (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|. (3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|. (4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|. 3．应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝. (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系． 4．对两平行直线间的距离公式的理解 (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式． (2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． (3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．(　　) (2)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是.(　　) (3)连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(　　) (4)两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)已知点A(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　) A． B．2－ C．－1 D．＋1 (2)点P(1,2)到坐标原点O的距离等于________. (3)若点(4,3)到直线3x－4y＋C＝0的距离为1，则C＝________. (4)两平行线4x＋6y＝16与2x＋3y＋18＝0间的距离等于________. 答案　(1)C　(2)　(3)±5　(4)2 题型一 两点间的距离公式及应用 例1　已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(－7,0)，B(2，－3)，C(5,6)，D(－4,9)，判断这个四边形是哪种四边形． [解]　∵kAB＝－，kCD＝－，kAD＝3，kBC＝3， ∴AB∥CD，AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形． 又kAB·kAD＝－1，∴AB⊥AD，即平行四边形ABCD为矩形， ∵|AB|＝＝3， |AD|＝＝3， ∴|AB|＝|AD|，即矩形ABCD为正方形， 故四边形ABCD为正方形． [条件探究]　将本例中D点坐标改为(0,21)，则此四边形又为哪种四边形？ 解　∵kAB＝－，kCD＝－3，kAD＝3，kBC＝3， ∴AD∥BC，|AB|≠|CD|且AB⊥AD. ∴四边形ABCD为直角梯形． 判断四边形与三角形形状的方法 (1)判断四边形的形状的方法：若两组对边均平行，则是平行四边形，进而再判断是否是矩形、菱形或