1.1.5 两条直线的交点坐标-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

1.5　两条直线的交点坐标 (教师独具内容) 课程标准：能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标． 教学难点：两直线相交与二元一次方程组的关系． 核心素养：通过求解两直线的交点坐标，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养. 知识点　　直线的交点与直线的方程组解的关系 1．两直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l l：Ax＋By＋C＝0 点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0 直线l1与l2的交点是A 2．两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 1．两条直线相交的条件 (1)将两个直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交． (2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)． (3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 2．判断两直线关系的方法 (1)利用方程组解的个数，将“形”的问题转化成“数”的问题． (2)利用直线方程的斜截式中斜率和截距的关系． (3)利用一般式中系数的关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0. ①l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1. ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. ③l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1. 3．过两直线交点的直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)． 4．对称问题 (1)中心对称 ①点关于点的对称．若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 ②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程． (2)轴对称 ①点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由得出．对称点坐标x2＝x1－2A·，y2＝y1－2B·. ②直线关于直线对称 求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法：转化为点关于直线对称．在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出l2的方程． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点A(a，b)在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则点A的坐标一定适合直线l的方程．(　　) (2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　　) (3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)若点A(1，b)是直线2x＋3y＋1＝0上一点，则b＝________. (2)若直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点为(a，b)，则a＋b＝________. 答案　(1)－1　(2)－2 题型一 直线的交点问题　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　判定下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标． (1)l1：2x－y＝7，l2：4x＋2y＝1； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝＋； (3)l1：(－1)x＋y＝3，l2：x＋(＋1)y＝2. [解]　(1)解方程组得 ∴两直线交点为. (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：x－3y＋2＝0， ∵＝＝，∴两直线重合． (3)解法一：∵k1＝1－，k2＝－＝－(－1)＝1－， ∴k1＝k2.又b1＝3≠b2＝，∴l1∥l2. 解法二：解方程组 由①得y＝3－(－1)x代入②得 x＋(＋1)[3－(－1)x]＝2， 整理，得3(＋1)＝2不成立， ∴方程组无解，∴直线l1∥l2. 1．求两直线交点的步骤 (1)写出由两条直线的方程所组成的联立方程组； (2)解方程组求出方程组的解； (3)写出两条直线的交点坐标． 2．求过两条直线交点的直线方程的两种方法 (1)求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)若利用过两直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解，则更简捷． [跟踪训练1]　已知直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0的交点为P.求： (1)点P的坐标； (2)过点P且平行于直线l3：x－2y－1＝0的直线的方程； (3)过