1.1.4 两条直线的平行与垂直-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

1.4　两条直线的平行与垂直 (教师独具内容) 课程标准：能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 教学重点：理解直线平行或垂直的判定条件． 教学难点：平行垂直问题的综合应用． 核心素养：通过学习两条直线平行和垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养. 知识点一　　两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔k1＝k2. (2)若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合. 知识点二　　两条直线垂直 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (2)当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0. 1．根据两直线方程的一般式判定两直线平行的方法 一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性． 2．根据两直线方程的一般式判定两直线垂直的方法 一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 这种方法可避免讨论，减小失误． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线平行，则这两条直线斜率相等．(　　) (2)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　　) (3)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.(　　) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与x轴垂直．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是(　　) A．－8 B．0 C．2 D．10 (2)若直线ax＋2y－1＝0与直线2ax－2y＋1＝0垂直，则a的值为(　　) A．0或 B．－ C．±2 D．± (3)过点A(1,2)且平行于直线x－3y＋1＝0的直线方程为________. (4)已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2经过点A(0,5)，B(，2)，则直线l1与直线l2的位置关系为________. 答案　(1)A　(2)D　(3)x－3y＋5＝0　(4)l1⊥l2 题型一　　平行、垂直关系的判断 例1　判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； (3)l1：x＝2，l2：x＝4； (4)l1：y＝－3，l2：x＝1. [解]　(1)解法一：将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝－x＋；l2：y＝－x－. 则k1＝－，b1＝，k2＝－，b2＝－. ∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2. 解法二：∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l1∥l2. (2)解法一：将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝x＋；l2：y＝－2x＋2. 则k1＝，k2＝－2. ∵k1k2＝－1，∴l1⊥l2. 解法二：∵3×2＋(－6)×1＝0，∴l1⊥l2. (3)因为l1：x＝2，l2：x＝4，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2. (4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2. 两条直线平行和垂直的判定 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2， ①若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. ②若l1⊥l2，则k1k2＝－1；反之k1k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1k2＝－1. [跟踪训练1]　判断下列各组直线的位置关系(“垂直”“平行”或“既不垂直也不平行”)： (1)l1：y＝x＋1，l2：y＝－3x＋2； (2)l1：2x＋5y＋1＝0，l2：＋＝1； (3)l1：x＋3y＋2＝0，l2：3x＋y＋1＝0； (4)l1：x＋y＝0，l2：x－y＝0. 解　设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2. (1)k1＝，k2＝－3，则k1k2＝－1，故l1⊥l2. (2)l1：2x＋5y＋1＝0，l2化为2x＋5y－10＝0，故l1∥l2. (3)k1＝－，k2＝－3，则k1≠k2，且k1k2≠－1，故l1与l2既不垂直也不平行． (4)k1＝－1，k2＝1，则k1k2＝－1，l1⊥l2. 题型二　　利用平行、垂直关