1.1.1 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 (教师独具内容) 课程标准：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置关系的集合要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 教学重点：直线倾斜角的概念、直线的斜率公式、直线的方向向量的应用． 教学难点：直线的倾斜角与斜率的变化关系，直线的斜率公式． 核心素养：通过学习直线的倾斜角与斜率，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养. 知识点一　　直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点，旋转到和直线l首次重合时所形成的角，称为直线l的倾斜角．通常倾斜角用α表示． ①当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°； ②当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为90°. (2)范围：[0，π). 知识点二　　直线的斜率 (1)定义：称k＝(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． (2)①若直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在； ②若直线l不与x轴垂直，则它的斜率存在且唯一. 知识点三　　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 (1)倾斜角不是的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝tanα. (2) 如图，结合正切函数的图象与性质，可知，斜率k与倾斜角α有如下关系： 当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α∈时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在. (3) 如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由平面向量的知识可知，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度．它们之间的关系是k＝＝tanα(其中x1≠x2)． ①若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量； ②若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝. 1．对直线倾斜角的理解 (1)由倾斜角定义可知倾斜角也是直线l向上的方向与x轴正方向所成的最小非负角． (2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． (3)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． (4)当直线的倾斜角α≠90°时，其正切值等于直线的斜率k，即k＝tanα. 2．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下： 斜率k k＝tanα>0 k＝0 k＝tanα<0 不存在 倾斜角α 锐角 0° 钝角 90° 3．运用斜率公式时应该注意的问题 (1)斜率公式与P1，P2点的先后顺序无关. (2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． 4．三点共线问题 (1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线． (2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线． (3)利用向量和向量共线也能断定A，B，C三点共线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．(　　) (2)任意一条直线都有斜率．(　　) (3)倾斜角越大，斜率也越大．(　　) (4)倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)已知直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，则该直线的倾斜角为(　　) A．150° B．135° C．75° D．45° (2)如图1所示，直线l的倾斜角为________. (3)过点(a，b)与y轴垂直的直线的斜率为________. (4)如图2所示，直线l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________. (5)过点(0,1)和(－3,0)的直线的斜率为________. 答案　(1)B　(2)135°　(3)0　(4)k1<k3<k2　(5) 题型一 直线的倾斜角 例1　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° [解析]　通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为45°