2.3.2 抛物线的简单几何性质-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

3.2　抛物线的简单几何性质 (教师独具内容) 课程标准：1.了解抛物线的简单几何性质.2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单问题． 教学重点：根据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质． 教学难点：抛物线几何性质的应用． 核心素养：通过研究抛物线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养. 知识点　抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性 质 焦点坐标 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 1．抛物线是圆锥曲线中最为特殊的一种曲线(e＝1)，由于抛物线上任一点到其焦点与到其准线的距离都是相等的，所以应充分利用图形及抛物线的定义进行相互转化，有利于灵活解题． 2．椭圆、双曲线、抛物线在几何性质上的联系与区别 (1)联系：三种曲线都有范围、对称性、顶点和离心率四个基本的几何性质． (2)区别：抛物线与椭圆、双曲线相比，主要区别于抛物线的离心率等于1且只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，没有中心．就标准方程而言，椭圆、双曲线有两个参数，而抛物线只有一个参数． 另外需注意，抛物线不是双曲线的一支，抛物线无渐近线． 抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的、有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的，事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越大，而抛物线的开口越来越趋于扁平． 3．利用抛物线的定义可以得知，抛物线的焦点弦(过焦点的弦)有许多特殊性质：如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的倾斜角为θ，相应的准线为l，N为准线l与x轴的交点． ①A，O，B1三点共线，且B，O，A1三点共线； ②AM1⊥BM1，A1F⊥B1F，M1F⊥AB； ③以AB为直径的圆与准线相切(切点为M1)，以A1B1为直径的圆与AB相切(切点为F)，以AF或BF为直径的圆与y轴相切； ④∠ANF＝∠BNF； ⑤|AF|＝，|BF|＝； ⑥|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝ ； 注意：当θ＝90°时，AB称为抛物线的通径，是焦点弦中最短的． ⑦y1y2＝－p2，x1x2＝，|y1－y2|＝； ⑧kOA·kOB＝－4，·＝－p2； ⑨＋＝，＝； ⑩S△AOB＝. 下面证明结论⑤： 由抛物线的定义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|. ∵|AA1|＝|NF|＋|AF|cosθ＝p＋|AF|cosθ， ∴|AF|＝p＋|AF|cosθ，∴|AF|＝. 同理|BF|＝. ∴结论⑤成立． 由结论⑤易得结论⑥与⑨. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线没有渐近线．(　　) (2)抛物线有对称轴，无对称中心．(　　) (3)抛物线的开口大小由抛物线的离心率决定．(　　) (4)抛物线x2＝y与抛物线y2＝x的离心率相同．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)抛物线y＝x2的准线方程为________. (2)顶点在原点，对称轴为x轴，且顶点到焦点的距离为3的抛物线的标准方程为________. (3)已知点P在抛物线y2＝－5x上，且点A(－3,0)，则|PA|的最小值为________. 答案　(1)y＝－2　(2)y2＝12x或y2＝－12x (3) 题型一　由抛物线的几何性质求标准方程 例1　抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1的短轴所在的直线，抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，求抛物线的标准方程及准线方程． [解]　因为椭圆＋＝1的短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)， 因为抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，所以＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x或y2＝－16x，准线方程分别为x＝－4或x＝4. 求抛物线的标准方程要明确四个步骤 (1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口方向)； (2)设方程(根据对称轴和开口方向设出标准方程)； (3)找关系(根据条件列出关于p的方程)； (4)得出抛物线的标准方程． [跟踪训练1]　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线的方程． 解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上． 故可设抛物