2.3.1 抛物线及其标准方程-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

3.1　抛物线及其标准方程 (教师独具内容) 课程标准：了解抛物线的定义、几何图形和标准方程． 教学重点：抛物线的定义及其标准方程的应用． 教学难点：利用抛物线的定义求轨迹方程． 核心素养：通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养. 知识点一　抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线．这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线. 知识点二　抛物线的标准方程 焦点在x轴的正半轴上，坐标是的抛物线的标准方程是y2＝2px(p>0)，它的准线方程是x＝－，其中p是抛物线的焦点到准线的距离． 对抛物线标准方程y2＝2px(p>0)的理解 (1)抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离p以及焦点的位置确定的． (2)焦点坐标中横坐标的值是抛物线标准方程中一次项系数的，准线方程中的数值是抛物线标准方程中一次项系数的－. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　) (2)抛物线的标准方程中的p表示焦点到准线的距离．(　　) (3)抛物线的方程都是二次函数．(　　) (4)抛物线y2＝x的准线方程是x＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)已知抛物线y2＝2x上一点P(m，2)，则m＝________，点P到抛物线的焦点F的距离为________. (2)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________. (3)若抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝________. 答案　(1)2　　(2)　(3)13 题型一　求抛物线的标准方程 例1　根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)准线方程为x＝－2； (2)焦点在x轴的正半轴上，且到准线的距离为5； (3)焦点为直线3x－4y－12＝0与x轴的交点． [解]　(1)由题意，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则－＝－2，即p＝4，故抛物线的标准方程为y2＝8x. (2)因为抛物线的焦点在x轴的正半轴上，故设其标准方程为y2＝2px(p>0)，焦点到准线的距离为p，则p＝5.故所求抛物线的标准方程为y2＝10x. (3)对于直线3x－4y－12＝0，令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点坐标为(4，0)，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，即＝4，p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x. 抛物线标准方程的求法 (1)定义法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程． (2)待定系数法：根据已知条件设出抛物线的标准形式，求出参数p，从而求出标准方程． [跟踪训练1]　根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的右顶点； (2)抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 解　(1)双曲线方程可化为－＝1，右顶点为(3，0)， 由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)且＝3， 所以p＝6，所以抛物线的标准方程为y2＝12x. (2)设所求焦点在x轴正半轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，A(m，－3)(m>0)， 由抛物线定义，得5＝|AF|＝m＋. 又(－3)2＝2pm，所以p＝1或p＝9， 故所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝18x. 题型二　抛物线的定义及其应用 例2　(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A． B．1 C． D． [解析]　∵y2＝x的准线方程为l：x＝－，由题意得|AF|，|BF|分别为A，B到准线l的距离d1，d2(如图所示)．则线段AB的中点到准线的距离为d3＝＝，∴线段AB的中点到y轴的距离为d＝－＝.故选C． [答案]　C (2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标． [解]　如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝3＋＝. 此时yP＝2，代入抛物线方程得xP＝2， ∴P点坐标为(2，2)． [结论探究]　如果本例(2)的问题改为“求点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值”，如何解答？