2.2.1 双曲线及其标准方程-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

2.1　双曲线及其标准方程 (教师独具内容) 课程标准：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 教学重点：双曲线的定义及标准方程． 教学难点：双曲线标准方程的推导． 核心素养：1.通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养.2.通过求解双曲线的标准方程，提升数学运算素养. 知识点一　　双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距． 知识点二　　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点坐标 F1(－c，0)； F2(c，0) F1(0，－c)； F2(0，c) a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 1．双曲线的定义中一定要注意的几点 (1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了． (2)不可漏掉定义中的常数小于|F1F2|，否则，当2a＝|F1F2|时，||PF1|－|PF2||＝2a表示两条射线；当||PF1|－|PF2||>2a时，不表示任何图形． (3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支． 2．求双曲线的标准方程时应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置． (2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值． 3．双曲线的焦点三角形 设双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其左、右焦点，P为双曲线上一点，如图所示，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，构成的三角形称为焦点三角形，其中PF1，PF2，F1F2为三角形的三边，且||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c.解决与焦点三角形有关的问题要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理．若∠F1PF2＝α，则S△PF1F2＝. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b.(　　) (3)双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB<0)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)若双曲线－＝1上一点M到左焦点的距离为8，则点M到右焦点的距离为________. (2)双曲线x2－4y2＝1的焦距为________. (3)已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________. (4)若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是____________. 答案　(1)4或12　(2) (3)－＝1或－＝1　(4)(－1，＋∞) 题型一 求双曲线的标准方程　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在坐标轴上，且过M，N两点； (2)两焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，且过P. [解]　(1)当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． ∵M，N在双曲线上，∴ 解得(舍去)． 当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为 －＝1(a>0，b>0)． ∵M，N在双曲线上，∴ 解得即a2＝9，b2＝16. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)由已知可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 代入点P可得－＝1， ① 又a2＋b2＝25， ② 由①②联立可得a2＝9，b2＝16， ∴双曲线的标准方程为－＝1. [解法探究]　本例(1)有没有其他解法呢？ 解　∵双曲线的焦点位置不确定， ∴设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵M，N在双曲线上，∴ 解得 ∴所求双曲线的标准方程为－＋＝1， 即－＝1. 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 (1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能． (2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)． (3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将a，b，c(或m，n)代入所设方程即为所求． [跟踪训练1]　根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)； (2)c＝，经过点(－5