2.1.2 椭圆的简单几何性质-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（北师大版）

1.2　椭圆的简单几何性质 (教师独具内容) 课程标准：掌握椭圆的简单几何性质． 教学重点：利用椭圆的几何性质解决问题． 教学难点：椭圆离心率对椭圆形状的影响． 核心素养：通过研究椭圆的几何性质及运用椭圆的几何性质解决问题，提升逻辑推理、数学抽象及数学运算素养. 知识点一　　椭圆的简单几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准 方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴x轴、y轴，对称中心(0，0) 顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0<e<1) 知识点二　　椭圆的离心率对椭圆形状的影响 (1)椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即＝e.显然0<e<1. (2)如图①，e越接近于1，椭圆就越扁.反之，如图②，e越接近于0，椭圆就越接近于圆.当a＝b时，它的方程为x2＋y2＝a2.这时c＝0，两个焦点重合，图形变为圆. 椭圆简单几何性质的几点说明 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质． (2)明确a，b，c的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距，不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由a2＝b2＋c2， 可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边．这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为a.如图所示，|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a. (3)椭圆上的所有点中，到焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点．若椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1(－a，0)，A2(a，0)到右焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.(　　) (2)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．(　　) (3)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长为a.(　　) (4)椭圆＋＝1的焦距为6.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)椭圆＋y2＝1的离心率为________. (2)设P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是________. (3)椭圆mx2＋ny2＝－mn(m<n<0)的焦点坐标为________. 答案　(1)　(2)[－5，5]　(3)(0，±) 题型一 椭圆的几何性质 例1　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标． [解]　椭圆的方程可化为＋＝1， ∵m－＝>0，∴m>. ∴椭圆的焦点在x轴上． 即a2＝m，b2＝，c＝＝. 由e＝，得 ＝，∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1. ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，，. 解决有关椭圆的问题一般应先弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置． (1)要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率． (2)熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质，这些基本概念是解决计算问题、证明问题、求解轨迹问题及其他有关问题的基础和关键． [跟踪训练1]　对椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的几何性质的表述，正确的是(　　) A．范围相同 B．顶点坐标相同 C．焦点坐标相同 D．离心率相同 答案　D 解析　椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，顶点坐标是(－a，0)，(a，0)，(0，－b)，(0，b)，焦点坐标是(－c，0)，(c，0)，离心率e＝；椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤y≤a，－b≤x≤b，顶点坐标是(－b，0)，(b，0)，(0，－a)，(0，a)，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)，离心率e＝.综上所述，二者只有离心率相同. 题型二 利用椭圆的几何性质求标准方程 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是6，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. [解]　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(