2.2.2 直线的两点式方程-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教A版）

2.2.2　直线的两点式方程 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程与截距式方程． 教学重点：会求直线的两点式方程、截距式方程． 教学难点：能利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题． 核心素养：通过学习直线的两点式方程及截距式方程，提升逻辑推理及数学抽象素养. 知识点一　　　直线的两点式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 斜率存在且不为0 知识点二　　　直线的截距式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 ＋＝1 斜率存在且不为0，不过原点 1．要注意方程＝和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程． 2．直线的截距式方程为＋＝1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两坐标轴上的截距． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率不存在的直线有两点式方程．(　　) (2)与x轴平行的直线没有两点式方程．(　　) (3)过原点的直线没有截距式方程．(　　) (4)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程是＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　) A．x＋y＝5 B．x－y＝5 C．x＋y＝5或x－4y＝0 D．x－y＝5或x－4y＝0 (2)过点A(1,1)，B(2,3)的直线的两点式方程为______________． (3)过点C(0,2)，D(－3,0)的直线的截距式方程为____________． (4)已知点E(1,5)，F(－1,3)，则线段EF的中点坐标为________． 答案　(1)C　(2)＝　(3)＋＝1 (4)(0,4) 题型一 直线的两点式方程 例1　已知△ABC三个顶点的坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4,1)，求三角形三条边所在直线的方程． [解]　∵A(2，－1)，B(2,2)，A，B两点的横坐标相同， ∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2. ∵A(2，－1)，C(4,1)， ∴由直线的两点式方程可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0. ∵B(2,2)，C(4,1)，∴由直线的两点式方程可得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0. 直线的两点式方程的适用范围及注意事项 (1)已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，便可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，再用点斜式求其方程． (2)由于减法运算的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序弄错而致错，错误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字母对应起来，只有深刻理解公式，才能避免类似“低级”错误． 　已知三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求AC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程． 解　过点A(－5,0)，C(0,2)的直线的两点式方程为＝， 整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC边所在直线的方程． 设线段AC的中点为D(x，y)，则AC边上的中线是顶点B与AC边中点D的连线． 因为即D. 由两点式得直线BD的方程为 ＝， 整理可得8x＋11y＋9＝0. 此即为AC边上的中线所在直线的方程． 题型二 直线的截距式方程 例2　直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程． [解]　设直线l的方程为＋＝1， 由已知得a＋b＝12.① 又直线l过点(－3,4)， ∴＋＝1.② 由①②，解得或 故直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0. 　在本例中若改为截距之积为6，又如何求直线l的方程？ 解　设直线l的方程为＋＝1， 由已知得ab＝6.① 又直线l过点(－3,4)，∴＋＝1.② 由①②解得或 故直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. 用截距式方程解决问题的优点及注意事项 (1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中