2.2.1 直线的点斜式方程-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教A版）

2.2.1　直线的点斜式方程 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程． 教学重点：会求直线的点斜式方程、斜截式方程． 教学难点：能利用直线的点斜式方程、斜截式方程解决相应的问题． 核心素养：通过推导直线的点斜式方程及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养. 知识点一　　　直角坐标系中确定一条直线的几何要素 在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)，就能唯一确定一条直线． 知识点二　　　直线的点斜式方程 (1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为y－y0＝k(x－x0)，称为直线的点斜式方程，简称点斜式． (2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为y＝y0，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为x＝x0. 知识点三　　　直线的斜截式方程 (1)斜率为k，且与y轴交于点(0，b)的直线方程为y＝kx＋b，称为直线的斜截式方程，简称斜截式． (2)直线方程y＝kx＋b中k的几何意义是直线的斜率，b的几何意义是直线在y轴上的截距． 1．关于点斜式的几点说明 (1)直线有点斜式方程的前提条件：①斜率必须存在；②已知一点P(x0，y0)和斜率k.只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程． (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线． (3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负、可为零． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(　　) (2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．(　　) (3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 (2)过点P(－1,2)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程为________________________． (3)已知直线l：y＝2－x，则直线l的斜率是________，在y轴上的截距为________． (4)斜率为2，过点A(0,3)的直线的斜截式方程为______________________． 答案　(1)C　(2)y－2＝(x＋1)　(3)－　2　(4)y＝2x＋3 题型一 求直线的点斜式方程 例1　写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(－1,4)且倾斜角为135°的直线； (2)过点P(3，－4)且与x轴平行的直线； (3)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线； (4)过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线． [解]　(1)由题意知，直线的斜率k＝tan135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]，即y－4＝－(x＋1)． (2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线的点斜式方程可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＝－4. (3)直线y＝x＋1的斜率k＝1.由题意知，所求直线与直线y＝x＋1垂直，所以所求直线的斜率k′＝－1，又点P(3,4)在所求直线上，由点斜式方程知，所求直线的方程为y－4＝－(x－3)． (4)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，所以所求直线方程为y－2＝2(x－1)． 直线的点斜式方程的适用范围 已知直线上一点的坐标以及直线的斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线的点斜式方程表示直线，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线的方程不能用点斜式表示． 　求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示． (1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3； (2)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (3)经过点(－5,2)，且平行于y轴； (4)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 解　(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3， 由直线的点斜式方程得直线方程为 y－3＝－3(x＋4)． (2)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方