2.1.1 倾斜角与斜率-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教A版）

2.1.1　倾斜角与斜率 (教师独具内容) 课程标准：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 教学重点：1.直线倾斜角的概念.2.直线的斜率公式.3.直线的方向向量的应用． 教学难点：1.直线的倾斜角与斜率的变化关系.2.直线的斜率公式． 核心素养：通过学习直线的倾斜角与斜率，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养. 知识点一　　　直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (1)当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°； (2)当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为90°. 2．倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 知识点二　　　直线的斜率与倾斜角的关系 1．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 续表 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 知识点三　　　斜率的求法 (1)定义法：已知倾斜角α(α≠90°)，k＝tanα. (2)两点法：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则斜率k＝. 1．对直线倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有三个条件 ①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角． (2)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是由x轴绕直线与x轴交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角． (3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． (4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． 2．运用斜率公式时应该注意的问题 (1)斜率公式与P1，P2点的先后顺序无关．公式中x1与x2，y1与y2可以同时交换，即可以写成k＝. (2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．(　　) (2)任意一条直线都有斜率．(　　) (3)倾斜角越大，斜率也越大．(　　) (4)倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)已知直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，则该直线的倾斜角为(　　) A．150° B．135° C．75° D．45° (2)如图1所示，直线l的倾斜角为________． (3)过点(a，b)与y轴垂直的直线的斜率为________． (4)如图2所示，直线l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________． (5)过点(0,1)和(－3,0)的直线的斜率为________． 答案　(1)B　(2)135°　(3)0　(4)k1<k3<k2　(5) 题型一 直线倾斜角与斜率的概念 例1　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． [解析]　有两种情况： ①如图a，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图b，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. [答案]　60°或120° (2) 如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率． [解]　直线l1的斜率k1＝tanα1＝tan30°＝. ∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴直线l2的斜率k2＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－. 直线的倾斜角与斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． (2)解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义，注意旋转方向；②倾斜角的取值范围0°≤α<180°；③充分结合图形进行分析． 　(1)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<1