1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教A版）

第2课时　空间中直线、平面的垂直 (教师独具内容) 课程标准：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系． 教学重点：利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系． 教学难点：1.明确直线与平面垂直的本质是直线的方向向量与平面的法向量平行.2.明确两平面垂直的本质是两平面的法向量垂直． 核心素养：通过利用向量方法解决空间中直线、平面的垂直问题，把几何问题转化为代数问题解决，提升数学运算、逻辑推理及直观想象素养. 知识点　　　　空间中垂直关系的向量表示 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2. 线线垂直 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 线面垂直 l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1 面面垂直 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 利用向量法证明空间中的平行、垂直可以通过建立空间直角坐标系，把要证的空间中的平行与垂直问题转化为证明空间向量之间的平行和垂直问题．破解此类题的关键点如下： ①合理建系，抓住空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)建立空间直角坐标系． ②确定坐标，利用题设条件写出相关点的坐标，进而获得相关向量的坐标． ③准确运算，验证两向量平行或垂直的条件成立． ④得出结论，由运算结果说明原问题得证． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条直线的方向向量平行，则这两条直线垂直．(　　) (2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(　　) (3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量n＝(－2,0，－4)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α相交但不垂直 (2)已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________． 答案　(1)B　(2)垂直 题型一 利用向量法证明线线垂直 例1　(2022·辽宁抚顺六校高二期中) 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. [证明]　证法一：设＝a，＝b，＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1， a·c＝b·c＝0，＝a＋c，＝(a＋b)，＝b＋c，＝－＝－a＋b＋c， ∴·＝(a＋c)·(－a＋b＋c)＝－＋cos60°＋0－0＋0＋＝0. ∴⊥，∴AB1⊥MN. 证法二： 设AB的中点为O，作OO1∥AA1，交A1B1于点O1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得A(－，0,0)，B(，0,0)，C(0，，0)，N(0，，)，B1(，0,1)， ∵M为BC的中点，∴M(，，0). ∴＝(－，，)，＝(1,0,1)， ∴·＝－＋0＋＝0. ∴⊥，∴AB1⊥MN. 利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤 (1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直． (2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直． 　如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点． 求证：(1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1. 证明　 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(，，0)，B1(1,1,1)． (1)＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,0)， ∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0， ∴⊥，∴BD1⊥AC. (2)＝(－1，－1,1)，＝，，1， ∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0， ∴⊥， ∴BD1⊥EB1. 题型二 利用向量法证明线面垂直 例2　如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点． 求证：EF⊥平面B1AC. [证明]　证法一：设＝a， ＝c，＝b，则a·b＝a·c＝b·c＝0， ∵＝＋＝(＋)＝(＋) ＝(＋－)＝(－a＋b＋c)， ＝＋＝a＋b. ∴