1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教A版）

1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 (教师独具内容) 课程标准：1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.3.掌握空间向量的线性运算及坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及坐标表示． 教学重点：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角和距离问题，及点在空间直角坐标系中的坐标表示． 教学难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，立体几何坐标化、代数化． 核心素养：1.通过根据具体的条件建立空间直角坐标系并写出空间向量的坐标，提升直观想象素养.2.通过学习空间向量的坐标形式的线性运算和数量积运算，提升数学运算素养.3.通过借助空间向量的数量积运算，判定空间中线面的位置关系，提升直观想象素养. 知识点一　　　空间直角坐标系及空间向量的坐标表示 (1)空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(如图)，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)空间向量的坐标表示 ①在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量O，且点A的位置由向量O唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使O＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量O对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． ②在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作O＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点二　　　空间向量运算的坐标表示 运算 坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点三　　　空间向量的平行或垂直的坐标表示 平行或垂直 坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 平行(a∥b) a∥b⇔a＝λb⇔(λ∈R且b≠0) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 知识点四　　　空间向量的长度公式及夹角的坐标表示 (1)空间向量长度公式的坐标表示 ①若a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝＝ . ②空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝ . (2)向量的夹角坐标公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则cos〈a，b〉＝＝ . 1．空间向量的坐标与其起点、终点坐标的关系 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标． 2．向量平行与垂直问题的三种题型 题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断． 题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的． 题型3：利用向量的坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解． 3．用空间向量的数量积解决夹角问题 空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量的数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量A的坐标与点P的坐标一致．(　　) (2)对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与b共线，则＝＝.(　　) (3)空间向量a＝(1,1,1)为单位向量．(　　) 答案