1.2 空间向量基本定理-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教A版）

(教师独具内容) 课程标准：1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解． 教学重点：把空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量． 教学难点：运用空间向量基本定理解决立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题． 核心素养：1.通过学习空间向量基本定理及基底、基向量等概念，培养数学抽象素养.2.通过应用空间向量基本定理，提升直观想象及数学运算素养. 知识点一　　　空间向量基本定理 (1)定理 条件 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc (2)基底与基向量 如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 知识点二　　　空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 1．正确理解基底的概念 基底中不能有零向量．因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量． 2．用基底表示向量的方法 用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底．(　　) (2)同一个基底表示同一向量的方式唯一．(　　) (3)A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则(　　) A．a与b共线 B．a与b同向 C．a与b反向 D．a与b共面 (2)设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)． (3)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，则·等于________． 答案　(1)A　(2)②　(3)1 题型一 基底的概念 例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． [解]　假设，，共面，则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， ∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3. ∵e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴{，，}可以作为空间的一个基底． 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法 ①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 　设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　C 解析　解法一：由空间向量共面的充要条件知，若x＝a＋b，则x，a，b共面．故①不能作为基底． 假设x，y，z共面，则存在实数λ，μ，使z＝λx＋μy， 即c＋a＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)＝λa＋(λ＋μ)b＋μc，则此方程组无解． ∴x，y，z不共面，故②能作为基底． 同理，③④能作为基底． 解法二：如图所示， 设a＝，b＝，c＝， 则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝， 由A，B1，C，D1四点不共面， 可知向量x，y，z也不共面， 同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面． 题型二 用基底表示空间向量 例2　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量： (1)；(2)；(3)；(4). [解]　连接AC，AC1