1.1.2 空间向量的数量积运算-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教A版）

1.1.2　空间向量的数量积运算 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题． 教学重点：数量积运算在空间几何体中的应用． 教学难点：空间向量数量积性质的应用． 核心素养：在理解并应用空间向量数量积的过程中，掌握相关概念和方法，培养数学抽象及数学运算素养. 知识点一　　　空间向量的夹角 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b. 知识点二　　　空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉． 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. (2)由向量的数量积定义，可以得到： ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. (3)运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 1．空间向量数量积性质的应用 (1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论可用于证明空间中的垂直关系． (2)|a|2＝a2，此结论可用于求空间中线段的长度． (3)cos〈a，b〉＝，此结论可用于求有关空间角的问题． (4)|b|cos〈a，b〉＝，此结论可用于求空间中的距离问题． 2．利用空间向量数量积求夹角问题的两种方法 (1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围． (2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉． 3．求空间两点间的距离或线段长的方法 (1)将此线段用空间向量表示，通过空间向量运算来求对应空间向量的模． (2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用空间向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝＝. (3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来解决一个空间向量在另一个空间向量所在直线上的投影问题． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b是〈a，b〉＝0的充要条件．(　　) (2)若a，b是空间两个向量，且a2＝b2，则a＝b或a＝－b.(　　) (3)若a，b均为非零空间向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　　) (4)已知空间中四点A，B，E，C，若·＝·，则⊥.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中数量积一定为零的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 (2)若空间向量a与b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为，则a·b＝________. (3)已知a，b是空间两个向量，且|a|＝，|b|＝，a·b＝－，则a与b的夹角为________． (4)已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________. 答案　(1)BCD　(2)1　(3)135°　(4) 题型一 求空间向量的数量积 例1　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·；(3)·； (4)·. [解]　(1)·＝· ＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos60°＝. (2)·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos0°＝. (3)·＝·＝||||·cos〈，〉＝×1×1×cos120°＝－. (4)·＝(＋)·(＋) ＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]＝[－·－·＋(－)·＋·]＝×－－＋－＋＝－. 1．空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，O为AC与BD的交点，E为A1D1的中点，求下列向量的数量积： (1)·；(2)·；(3)·. 解　设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|c|＝1，|b|＝2. (1)∵＝－＝b－a， ∴·＝(b－a)·c＝b·c－a·c. 又a，b，c两两互相垂直，∴b·c＝0，a·c＝0， 故·