1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教A版）

第2课时　用空间向量研究夹角问题 (教师独具内容) 课程标准：1.能用向量方法解决简单夹角问题.2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 教学重点：利用直线的方向向量和平面的法向量求解空间夹角问题． 教学难点：将夹角问题转化为空间向量问题． 核心素养：通过学习利用空间向量求三种空间角的大小或其三角函数值，实现了几何问题代数化，在此过程中提升了数学运算及直观想象素养. 知识点一　　　空间角及向量求法 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝＝ (0，] 直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝＝ [0，] 平面与平面的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝ [0，] 知识点二　　　用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题． (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何结论． 1．利用法向量求直线AB与平面α所成的角θ的步骤 (1)求平面α的法向量n. (2)利用公式sinθ＝|cos〈，n〉|＝确定θ，注意直线与平面所成角的取值范围为. 2．利用法向量求两平面夹角的步骤 (1)求两平面的法向量． (2)求两法向量的夹角的余弦值，从而确定夹角的大小，注意两平面夹角的取值范围为[0，]. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量的夹角相等．(　　) (2)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角．(　　) (3)两个平面的夹角就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面的夹角为________． (2)设直线a的方向向量为a＝(－1,2,1)，平面α的法向量为b＝(0,1,2)，则直线a与平面α所成角的正弦值为________． (3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成角的大小为________． 答案　(1)45°　(2)　(3) 题型一 利用空间向量求异面直线所成的角 例1　在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，求异面直线PB与AC所成角的余弦值． [解]　 解法一：取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，从而平面PAO⊥平面ABC，且∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示． 设AB＝2，则A(，0,0)，C(0，－1,0)，B(0,1,0)，P(－，0，)，所以＝(－，－1,0)，＝(，1，－)，cos〈，〉＝＝－， 所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 　　 解法二：如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角． 设AB＝2，则＝－，＝－， 故·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝－1－0－0＋××－＝－，所以cos〈，〉＝＝－.即异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 解法三： 取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角， 即∠POA＝120°. 过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角． 设AB＝a，则PB＝BD＝a，PO＝PD＝a， 所以cos∠PBD＝＝， 即异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 两异面直线所成的角的求法 (1)平移法：通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形求解． (2)取定基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在利用公式cos〈a，b〉＝求向量a，b的夹角时，关键是求出a·b及|a