第04讲 解直角三角形（5种题型）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（沪教版）

第04讲 解直角三角形（5种题型） ( 考点 考向 ) 1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程. 2. 直角三角形的边角关系（中，） 3.解直角三角形的应用 （1）仰角与俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； （2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡面的坡度，记作，即；坡度表示形式：. 坡面与水平面的夹角叫坡角，记为；坡度与坡角的关系：. ( 考点 精讲 ) 一．解直角三角形（共6小题） 1．（2022•宝山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么tanα的值是（　　） A．2 B． C． D． 【分析】过P点作PA⊥x轴于A，则∠POA＝α，利用P点坐标得到OA＝1，PA＝2，然后根据正切的定义求出tan∠POA的值即可． 【解答】解：如图，过P点作PA⊥x轴于A，则∠POA＝α， ∵点P的坐标为（1，2）， ∴OA＝1，PA＝2， ∴tan∠POA＝＝＝2， 即tanα＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键． 2．（2021秋•宝山区期末）如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（　　） A．CD＝AB•tanB B．CD＝AD•cotA C．CD＝AC•sinB D．CD＝BC•cosA 【分析】利用直角三角形的边角间关系，计算得结论． 【解答】解：∵CD是斜边AB边上的高， ∴△ACD、△BCD都是直角三角形． 在Rt△ACD中， ∵CD＝sinA•AC＝tanA•AD＝，故选项B不正确； 在Rt△BCD中， ∵CD＝sinB•BC＝tanB•BD，故选项A、C不正确． 在Rt△ABC中， ∵∠A+∠B＝90°， ∴cosA＝sinB． ∴CD＝sinB•BC＝cosA•BC，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 3．（2022春•虹口区校级期中）如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用网格求出AC和AB的长，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，最后根据三角函数的意义求解即可． 【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD， 由网格可得，AC＝AB＝＝2， ∴AD⊥BC， Rt△ABD中， ∵AD＝＝3， ∴sin∠ABC＝＝＝． 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2021秋•嘉定区期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，，那么BC的长是（　　） A．4 B．8 C． D． 【分析】根据等腰三角形的三线合一，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，然后放在Rt△ABD中，进行计算即可． 【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中，AB＝10，， ∴BD＝ABcosB＝10×＝4， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BC＝2BD＝8， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握利用等腰三角形的三线合一添加辅助线是解题的关键． 5．（2021秋•奉贤区期末）在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°．下列线段BC的长度不能使△ABC的形状和大小都确定的是（　　） A．2 B．4 C． D． 【分析】如图，过点B作BH⊥AC于点H．判断出当BC＝或BC≥2时，三角形唯一确定，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H． 在Rt△ABH中，BH＝AB＝， 观察图形可知，当BC＝或BC≥2时，三角形唯一确定， 故BC＝2时，三角形不能唯一确定， 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，判断出三角形唯一确定的BC的范围，属于中考常考题型． 6．（2022•杨浦区三模）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，点P是斜边AB上一点，过点P作PM⊥AB交边AC于点M，过点P作AC的平行线，与过点M作AB的平行线交于点Q．如果点Q恰好在∠ABC的平分线上，那么AP的长为 　　． 【分析】根据直角三角形的边角关系可求出AB，AC，再根据相似三角形，用含有AP的代数式表示MC、NC、MN，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出BN＝NQ，进而列方程求出AP即可． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝， ∴AB＝＝10，AC＝＝6， ∵PM⊥AB， ∴∠APM＝90°＝∠C， ∵∠A＝∠A， ∴△APM∽△A