专题1.2 一元二次方程的应用十大类型精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 专题1.2一元二次方程的应用十大类型精讲精练 （知识梳理+典例剖析+变式训练） 【知识梳理】 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）²，即 原数×（1+增长百分率）²=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． （5）销售问题： 利润=售价—进价=进价×利润率，总利润=销售量×单件利润 3．列一元二次方程解应用题的“六字诀” （1）审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． （2）设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． （3）列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． （4）解：准确求出方程的解． （5）验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． （6）答：写出答案． 【典例剖析】 【考点1】增长率问题 【例1】（2022·新疆·乌鲁木齐市第七十四中学九年级期末）为应对新冠疫情，较短时间内要实现全国医用防护服产量成倍增长，有效保障抗击疫情一线需要，某医用防护服生产企业1月份生产9万套防护服，该企业不断加大生产力度，3月份生产达到12.96万套防护服． (1)求该企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率． (2)若平均增长率保持不变，4月份该企业防护服的产量能否达到16万套？请说明理由． 【答案】(1)该企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率为 (2)不能达到，理由见解析 【分析】（1）设企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率为，根据题意列出关于的一元二次方程即可求解； （2）根据条件算出4月份该企业防护服的产量，即可判断． （1） 解：设企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率为， 由题意可得：， 解得： ，（舍去） 答：该企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率为； （2） 解： （万套）， ， 4月份该企业防护服的产量不能达到16万套． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据条件列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1.1】（2021·云南·富源县第七中学九年级期中）2020年疫情期间，某地教育局出台《中小学线上教学工作实施方案》，推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播教学．据统计，第一批次公益课受益的学生为4万人，第三批次公益课受益的学生为万人，每个批次受益学生人数的平均增长率相同． (1)求每个批次的平均增长率； (2)按照这个增长率，预计第四批次公益课受益的学生将达到多少万人？ 【答案】(1)10% (2)5.324万 【分析】（1）设每批次的增长率为，根据一批次公益课受益的学生为4万人，第三批次公益课受益的学生为万人，列出方程，解出方程，即可； （2）根据题（1）求出的增长率，根据，即可求出第四批的人数． （1） 解：设每批次的增长率为 ∴第二批次的人数为： ∴第三批次的人数为： ∴ 解得：，（舍去） ∴ ∴增长率为． （2） ∵增长率为 ∴第四批的人数：万人 故第四批次公益课受益的学生将达到万人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意，列出方程，解一元二次方程． 【变式1.2】（2021·甘肃·静宁县阿阳实验学校九年级阶段练习）受益于国家支持新能源汽车发展和“带一路”发展战略等多重利好因素，某市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2017年利润为2亿元，2019年利润为3.38亿元． (1)求该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率； (2)若2020年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2020年的利润能否超过4亿元？ 【答案】(1)该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率为30%； (2)该企业2020年的利润能超过4亿元 【分析】（1）设该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率为x，根据“2017年利润为2亿元，2019年利润为3.38亿元”列方程求解即可； （2）根据该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率求出该企业2020年的利润即可作答． （1） 解：设该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率为x， 根