专题1.1 一元二次方程九大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 专题1.1一元二次方程九大考点精讲精练 （知识梳理+典例剖析+变式训练） 【知识梳理】 1．一元二次方程的有关概念： （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． （2）一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （3）一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 2.一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：形如或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． （2）配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． （3）公式法：把（-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． 用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出-4ac的值（若-4ac＜0，方程无实数根）； ③在-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②-4ac≥0． （4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 3.一元二次方程根的判别式： 利用一元二次方程根的判别式（△=-4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）的根与△=-4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 4.一元二次方程根与系数的关系： （1）若二次项系数为1，常用以下关系：， 是方程+px+q=0的两根时，+ =-p， =q 反过来可得p=-（+ ），q= ，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）的两根时， ，反过来也成立，+ =—， = （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【典例剖析】 【考点1】一元二次方程的定义 【例1】（2022·安徽·滁州市第六中学八年级阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2 【变式1.1】（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（       ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是（　　） A． B． C． D．为任意实数 【变式1.3】（2022·江苏南通·八年级期末）若关于x的方程是一元二次方程，则a的范围是（       ） A． B． C． D． 【考点2】一元二次方程的一