专题2.3 绝对值的综合运用（强化）-【题型分层练】2022-2023学年七年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题2.3 绝对值的综合运用 【例题精讲】 已知，，且，求的值． 【解答】解：，， 或10，或4， ， ，或4， 当，时，， 当，时，． 综上所述，的值为0或． 阅读下列材料并解决有关问题：我们知道， 所以当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： （1）已知，是有理数，当时，　或0　； （2）已知，，是有理数，当时，　　； （3）已知，，是有理数，，，则　　． 【解答】解：（1）已知，是有理数，当时， ①，，； ②，，； ③、异号，． 故或0； （2）已知，，是有理数，当时， ①，，，； ②，，，； ③、、两负一正，； ④、、两正一负，． 故或； （3）已知，，是有理数，，， 则，，，、、两正一负， 则． 故答案为：或0；或；． 同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与两点之间的距离是　7　， （2）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为　　． （3）如果，则　　． （4）同理表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是　　． （5）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【解答】解：（1）数轴上表示5与两点之间的距离是，故答案为：7； （2）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为，故答案为：； （3）， 或， 解得：或， 故答案为：7或； （4）表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、0、1， 故答案为：、、、0、1； （5）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值是3． 【题组训练】 2．若，且，试求的值． 【解答】解：因为，， 所以或7，，又， 所以当，时，； 当，时，． 3．若，，且，求的值． 【解答】解：，， ，， ， ，， ， 或， 所以，的值为或． 4．计算：已知，，且，求的值． 【解答】解：，，且， ，， ． 5．已知：，，且，求的值． 【解答】解：，， ，， ，或， ， 当，时，； 当，时，． 故的值为4或14． 6．若，　1　；若，　　； ①若，则　　； ②若，则　　． 【解答】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 8．如果、、是非零有理数，且，那么的所有可能的值为　0　． 【解答】解：、、为非零有理数，且、、只能为两正一负或一正两负． ①当、、为两正一负时，设、为正，为负， 原式， ②当、、为一正两负时，设为正，、为负 原式， 综上，的值为0， 故答案为：0． 9．阅读下列材料完成相关问题：已知，、是有理数 （1）当，时，求的值； （2）当时，求的值； （3）当，，的值． 【解答】解：（1），， ， ； （2）当、、同正时，； 当、、两正一负时，； 当、、一正两负时，； 当、、同负时，； （3）， ，， 又， 当，，时，原式 ； 当，，时，原式 ； 当，，时，原式 ． 10．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）． （提出问题）两个有理数、满足、同号，求的值． 解：①若、都是正数，即，，，，则； ②若、都是负数，即，，有，，则， 所以的值为2或． （探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）两个有理数、满足、异号，求的值； （2）已知，，，且，求的值． 【解答】解：（1）由、异号，可知：①，；②，， 当，时，； 当，时，． 综上，的值为0； （2）、、， ，，． ， ，，或，，． 当，，时， ； 当，，时， 综上，的值为或． 12．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　3　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　，数轴上表示15和的两点之间的距离是　　． （2）数轴上表示和的两点，之间的距离是　　，如果，那么是　　． （3）式子的最小值是　　． 【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是．数轴上表示15和的两点之间的距离是． （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是，如果，那么为1或． （3）表示：数轴上一点到，2和3距离的和， 当在和3之间的2时有最小值是4． 故答案为：3，15，45；，1或；4． 13．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上