4.3一元二次不等式的应用 课件-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.4.3 一元二次不等式的应用 公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，恰好在水面中心，米，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上的抛物线路径如图所示. 为使水流形状漂亮，设计水流在离的距离为1米处达到距水面最大高度，最大高度为2.25米. 1．数学建模 【问题1】如何确定水流在第一象限的轨迹的表达式? 【答案】由题意可知，本题可借助抛物线这一数学模型求解， 则水流所呈现的抛物线方程为. 由题意，点的坐标为，，把，代入方程解得， 于是抛物线方程为. 1．数学建模 【问题2】如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到池外? 【答案】结合问题1，令，得，解得，(不合题意，舍去)，所以水池半径至少要2.5米，才能使水流不落到池外. 利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)选取合适的字母表示题中的未知数； (2)由题中给出的不等关系列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案. 抽象概括 【例1】科技创新是企业发展的原动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础.某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用.经调研，该企业生产此设备获得的月利润(单位：万元)与投入的月研发经费(，单位：万元)有关，当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入的月研发经费高于36万元时，.对于企业而言，研发利润率是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小. (1)求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值； (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费的取值范围. 【方法指导】(1)分别写出与时研发利润率关于月研发经费的函数，再由基本不等式及反函数的性质求最值，取最大值中的最大者得结论；(2)由(1)可得研发利润率关于研发经费的解析式，列不等式求解的取值范围即可. 学以致用 【解析】由题意可知，当时，， 当且仅当，即时取等号； 当时，， 因为当时，随着的增大而减小，所以. 因为2>1.9，所以当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值，最大值为200%. (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，由(1)可知，此时月研发经费. 令，整理得，解得. 因此，