单元复习03 第三章 圆锥曲线的方程【过知识】-2022-2023学年高二数学单元复习过过过（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线的方程 章末复习 1 1 知识框架 2 重点题型 题型1：圆锥曲线的定义及标准方程 1.求圆锥曲线方程的常用方法 (1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程. (2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量. (3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. 2 重点题型 (4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数. 2.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养. 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x，2y). 因为点P在圆x2＋y2＝4上， 所以x2＋(2y)2＝4， 方法二　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)， 把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4， 2 重点题型 方法总结 在已知圆锥曲线的类型时,求圆锥曲线方程的关键是根据已知的几何条件或者代数条件,列出方程或者方程组,求出圆锥曲线的方程中的系数(待定系数法).当动点随另一个在已知曲线上运动的点而变化时,建立两个动点坐标之间的关系,代入已知曲线方程得出圆锥曲线方程(代入法). 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 题型2：圆锥曲线的几何性质 1.本类问题主要有两种考查类型： (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点. (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”. 2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养. 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 2 重点题型 方法总结 (1)圆锥曲线的主要性质有范围、对称性、焦点、顶点、离心率,另外椭圆还包括长短轴,双曲线还包括实虚轴、渐近线,抛物线还包括准线. ②方程法:建立a与c的齐次关系式,求离心率e. ③几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系.通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观. 2 重点题型 【变式训练】已知双曲线的一个焦点为，点，是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且与的左支交于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 2 重点题型 [解析] 设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性知，四边形是矩形，所以，即，由得，所以，所以，所以，，所以，故C的渐近线方程为. 2 重点题型 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线交于两点，若，则______. 2 重点题型 [解析] 作，垂足为点（图略）. 因为点在抛物线上，所以，即.① 由抛物线的性质得， 因为，所以，所以，解得，② 联立①②，解得（舍去）或. 2 重点题型 题型3：直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式. 2.借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养. 2 重点题型 (1)求椭圆的方程； 2 重点题型 2 重点题型 解　由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2 重点题型 由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3. 2 重点题型 (1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程； 由A(2,0)，得a＝2， 2 重点题型 (2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围. 若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a， 则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解. 设f(y)＝6y2－8y＋4－a2， 2 重点题型 1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解. 2.圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养. 题型4：圆锥曲线的综合问题 2