18.3.1 反比例函数的概念与图像-2022-2023学年八年级数学上册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（沪教版）

18.3.1 反比例函数的概念与图像 一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是因变量，定义域是不等于零的一切实数. 要点：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点； （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　 （1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式 中. 三、反比例函数的图象 (1) 反比例函数的图象Ⅰ 呈现形式 反比例函数 (k≠0)的图象是________ 对称性 它既是关于________对称的中心对称图形，也是轴对称图形，其对称轴为第一、三象限或第二、四象限坐标轴夹角的平分线，即直线y＝x或直线y＝－x (2)反比例函数的图像Ⅱ（画法：列表；描点；连线） 函数 图象 所在象限 y＝(k≠0) k>0 一、三象限 (x，y同号) 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. k<0 二、四象限 (x，y异号) 题型1：反比例函数的定义 1．下列各问题中的两个变量成反比例的是（        ）； A．某人的体重与年龄 B．时间不变时，工作量与工作效率 C．矩形的长一定时，它的周长与宽 D．被除数不变时，除数与商 2．下列函数中，y是x的反比例函数的是（       ）． A． B． C． D． 3．在函数y=-1，y=， y=x-1，y=中，y是x的反比例函数的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2：反比例函数的图像上点的确定 4．已知反比例函数，则这个函数的图像一定经过（　　） A．(2，1) B．(2，－1) C．(2，4) D． 5．已知反比例函数的图象过（2，－2）和（－1，n），则n等于（       ） A．3 B．4 C．6 D．12 题型3：求比例系数与待定系数法 6．若点P（1，3）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（        ） A． B．3 C．- D．-3 7．已知y与x成反比例，且当时，，则y关于x的函数解析式是（       ） A． B． C． D． 8．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（       ） A． B． C． D． 9．反比例函数中，比例系数k的值为（       ） A．3 B． C． D． 10．如果， ，那么__________． 11．如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（       ） A．1 B． C． D．3 12．已知y是x的反比例函数，下面表格给出了x与y的一些值，则☆和*所表示的数分别为（       ） x ☆ -1 y 2 * A．6，2 B．-6，2 C．6，-2 D．-6，-4 题型4：根据反比函数的概念求参数 13．已知函数是关于的反比例函数，则的值为（       ） A．1 B．－1 C． D． 14．若函数是反比例函数，则m的值为（ ） A．m＝－2 B．m＝1 C．m＝2或m＝1 D．m＝－2或m＝－1 15．若函数y=（3﹣k）是反比例函数，那么k的值是（　　） A．0 B．3 C．0或3 D．不能确定 题型5：求反比例函数的解析式（待定系数法求解析式衍生题） 16．已知函数 ，且 为 的反比例函数， 为 的正比例函数，且 和 时， 的值都是1，求关于的函数关系式． 17．已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝3时，，求y关于x的函数解析式． 题型6：反比例函数的图像 18．先填表，再画出反比例函数的函数图像． x 1 2 3 4 y 19．分别画出函数和的图象．